题目

设向量组 α1 =（1，1，1，3）T， α2 =（-1，-3，5，1）T， α3 =（3，2，-1，p+2）T， α4 =（-2，-6，10，p）T． （1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 α =（4，1，6，10）T用 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性表出； （2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

设向量组
α1
=（1，1，1，3）T，
α2
=（-1，-3，5，1）T，
α3
=（3，2，-1，p+2）T，
α4
=（-2，-6，10，p）T．
（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量
α
=（4，1，6，10）T用
α1
，
α2
，
α3
，
α4
线性表出；
（2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

题目解答

答案


设矩阵A的列向量分别由
α1
，
α2
，
α3
，
α4
组成，
则矩阵A的行列式为：
|A|=|(
α1
，
α2
，
α3
，
α4
)|=
.
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
.
=2(2-p)，
从而：
（1）当p≠2时，向量组
α1
，
α2
，
α3
，
α4
是线性无关的．
此时，设：
α
=x1
α1
+x2
α2
+x3
α3
+x4
α4
，
对矩阵(A|
α
)作行初等变换如下：
(A|
α
)=(
α1
，
α2
，
α3
，
α4
|
α
)
=
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
.
4
1
6
10
→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 6 -4 12
0 4 p-7 p+6
.
4
-3
2
-2

→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 p-9 p-2
.
4
-3
-7
-8
→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 1 0
0 0 0 p-2
.
4
-3
1
1-p
，
从而解得：
x1=2，x2=
3p-4
p-2
，x3=1，x4=
1-p
p-2
，
∴得：
α
=2
α1
+
3p-4
p-2
α2
+
α3
+
1-p
p-2
α4

（2）当p=2时，|A|=0，
此时向量
α1
，
α2
，
α3
，
α4
线性相关，
将p=2代入矩阵A中，经过行初等变换，有：
A=
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 4 2
→
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 -7 0
→
1 -1 0 -2
0 -2 0 -4
0 0 1 0
0 0 0 0
→
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 0
，
于是：
rank（A）=3，
α1
，
α2
，
α3
线性无关，并且
α4
=2
α2
，
同样的，
α1
，
α3
，
α4
也线性无关，
∴
α1
，
α2
，
α3
（或
α1
，
α3
，
α4
）为向量组的一个极大线性无关组．