题目
15.微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为____16.设矩阵A=
15.微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为____
16.设矩阵A=
题目解答
答案
为了解决给定的微分方程 $(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0$ 并且满足初始条件 $y(1)=1$，我们将遵循以下步骤：
1. **检查微分方程是否为精确方程：**
微分方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 是精确的，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。
这里，$M(x,y) = 2y - 3x$ 和 $N(x,y) = 2x - 5y$。
计算偏导数：
\[
\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \quad \text{和} \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2.
\]
由于 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，微分方程是精确的。
2. **找到势函数 $f(x,y)$：**
势函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x} = M(x,y)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = N(x,y)$。
从 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2y - 3x$ 开始，对 $x$ 积分：
\[
f(x,y) = \int (2y - 3x) \, dx = 2yx - \frac{3x^2}{2} + g(y).
\]
现在，对 $f(x,y)$ 关于 $y$ 求导，并将其等于 $N(x,y)$：
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + g'(y) = 2x - 5y.
\]
解出 $g'(y)$：
\[
g'(y) = -5y.
\]
对 $y$ 积分 $g'(y)$：
\[
g(y) = \int -5y \, dy = -\frac{5y^2}{2} + C.
\]
因此，势函数为：
\[
f(x,y) = 2yx - \frac{3x^2}{2} - \frac{5y^2}{2} + C.
\]
微分方程的解由 $f(x,y) = K$ 给出，其中 $K$ 是一个常数。合并常数 $C$ 和 $K$：
\[
2yx - \frac{3x^2}{2} - \frac{5y^2}{2} = C.
\]
3. **使用初始条件 $y(1) = 1$ 找到 $C$：**
将 $x = 1$ 和 $y = 1$ 代入解中：
\[
2 \cdot 1 \cdot 1 - \frac{3 \cdot 1^2}{2} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} = C.
\]
简化：
\[
2 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = C \implies 2 - 4 = C \implies C = -2.
\]
因此，微分方程的解为：
\[
2yx - \frac{3x^2}{2} - \frac{5y^2}{2} = -2.
\]
乘以 2 清除分母：
\[
4yx - 3x^2 - 5y^2 = -4.
\]
重新排列项：
\[
3x^2 - 4yx + 5y^2 = 4.
\]
最终答案是：
\[
\boxed{3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，特别是精确方程的求解方法。需要学生掌握判断方程是否为精确方程的条件，并能够通过积分找到势函数，最终结合初始条件确定解的具体形式。
解题核心思路：
- 验证方程是否为精确方程：计算$M$对$y$的偏导数和$N$对$x$的偏导数，若相等则为精确方程。
- 构造势函数$f(x,y)$：分别对$M$积分和对$N$积分，通过对比确定势函数的表达式。
- 代入初始条件：利用给定的初始条件确定积分常数，得到最终解。
破题关键点：
- 精确方程的判定：通过偏导数验证方程类型。
- 积分求势函数：注意积分过程中未知函数的处理。
- 常数的确定：通过初始条件代入消去任意常数。
步骤1：验证方程是否为精确方程
给定微分方程：
$(2y - 3x)dx + (2x - 5y)dy = 0$
其中，$M(x,y) = 2y - 3x$，$N(x,y) = 2x - 5y$。
计算偏导数：
$\frac{\partial M}{\partial y} = 2, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2.$
由于$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，方程为精确方程。
步骤2：构造势函数$f(x,y)$
- 对$M$积分：
$f(x,y) = \int (2y - 3x) dx = 2yx - \frac{3}{2}x^2 + g(y).$ - 对$f$关于$y$求导并与$N$对比：
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + g'(y) = 2x - 5y \implies g'(y) = -5y.$ - 积分$g'(y)$：
$g(y) = \int -5y dy = -\frac{5}{2}y^2 + C.$ - 构造完整势函数：
$f(x,y) = 2yx - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 + C.$
步骤3：代入初始条件$y(1)=1$
方程的通解为$f(x,y) = K$，即：
$2yx - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 = C.$
将$x=1$，$y=1$代入：
$2 \cdot 1 \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 - \frac{5}{2} \cdot 1^2 = C \implies C = -2.$
整理方程并消去分母：
$3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4.$