题目
【题目】求微分方程 y''-3y'+2y=2xe^x 的通解
【题目】求微分方程 y''-3y'+2y=2xe^x 的通解
题目解答
答案
【解析】对应齐次方程 y''-3y'+2y=0 的特征方程为λ^2-3λ+2=0 解得特征根为 λ_1=1 , λ_2=2所以齐次微分方程 y''-3y'+2y=0 的通解为y1=C_1e^x+C_2e^(2x) 因为非齐次项为 f(x)=2xe^x ,且a=1是特征方程的单重根故设原方程的一个特解为 y^*=x(ax+b)e^x ,代入原方程得:a=-1,b=-2故特解为 y^*=x(-x-2)e^x .所以原方程通解为y=y_1+yx=C_1e^x+C_2e^(2x) +x(-x-2)e^x
解析
步骤 1：求解齐次方程的通解
首先，我们求解对应的齐次方程 y''-3y'+2y=0 的通解。为此，我们求解特征方程 λ^2-3λ+2=0。解得特征根为 λ_1=1 和 λ_2=2。因此，齐次方程的通解为 y_1=C_1e^x+C_2e^(2x)。
步骤 2：求解非齐次方程的特解
由于非齐次项为 f(x)=2xe^x，且 a=1 是特征方程的单重根，我们设原方程的一个特解为 y^*=x(ax+b)e^x。将 y^* 代入原方程，我们得到 a=-1 和 b=-2。因此，特解为 y^*=x(-x-2)e^x。
步骤 3：求解原方程的通解
原方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即 y=y_1+y^*。因此，原方程的通解为 y=C_1e^x+C_2e^(2x)+x(-x-2)e^x。
首先，我们求解对应的齐次方程 y''-3y'+2y=0 的通解。为此，我们求解特征方程 λ^2-3λ+2=0。解得特征根为 λ_1=1 和 λ_2=2。因此，齐次方程的通解为 y_1=C_1e^x+C_2e^(2x)。
步骤 2：求解非齐次方程的特解
由于非齐次项为 f(x)=2xe^x，且 a=1 是特征方程的单重根，我们设原方程的一个特解为 y^*=x(ax+b)e^x。将 y^* 代入原方程，我们得到 a=-1 和 b=-2。因此，特解为 y^*=x(-x-2)e^x。
步骤 3：求解原方程的通解
原方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即 y=y_1+y^*。因此，原方程的通解为 y=C_1e^x+C_2e^(2x)+x(-x-2)e^x。