【题目】已知 y_1(x)=e^x y_2=u(x)e^x 是二阶微分方程 (2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0 的解若u(-1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解

步骤 1：代入 $y_2=u(x)e^x$ 到微分方程中
将 $y_2=u(x)e^x$ 代入微分方程 $(2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0$，得到：
$$(2x-1)(u''e^x+2u'e^x+ue^x)-(2x+1)(u'e^x+ue^x)+2ue^x=0$$
步骤 2：化简微分方程
化简上式，得到：
$$(2x-1)u''e^x+(4x-3)u'e^x=0$$
步骤 3：求解 $u(x)$
由于 $e^x$ 不为零，可以约去 $e^x$，得到：
$$(2x-1)u''+(4x-3)u'=0$$
这是一个一阶线性微分方程，令 $v=u'$，则有：
$$(2x-1)v'+(4x-3)v=0$$
这是一个可分离变量的微分方程，分离变量后得到：
$$\frac{dv}{v}=-\frac{4x-3}{2x-1}dx$$
积分得到：
$$\ln|v|=-\int\frac{4x-3}{2x-1}dx$$
$$\ln|v|=-2x+\ln|2x-1|+C$$
$$v=\frac{C}{2x-1}e^{-2x}$$
由于 $v=u'$，则有：
$$u'=\frac{C}{2x-1}e^{-2x}$$
积分得到：
$$u=\int\frac{C}{2x-1}e^{-2x}dx$$
$$u=-\frac{C}{2}e^{-2x}+D$$
步骤 4：利用初始条件求解 $C$ 和 $D$
由 $u(-1)=e$，$u(0)=-1$，得到：
$$u(-1)=-\frac{C}{2}e^{2}+D=e$$
$$u(0)=-\frac{C}{2}+D=-1$$
解得 $C=-2$，$D=-1$，则有：
$$u(x)=-e^{-2x}-1$$
步骤 5：写出微分方程的通解
微分方程的通解为：
$$y(x)=C_1e^x+C_2(2x+1)$$