题目
已知关于x的方程 ^2+(2k-3)x+(k)^2-3=0 有两个实数根x1,x2,且 _(1)+(x)_(2)=dfrac (1)({x)_(1)}+dfrac (1)({x)_(2)}, 求k的值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程的判别式
方程 ${x}^{2}+(2k-3)x+{k}^{2}-3=0$ 有两个实数根，因此判别式 $\Delta \geqslant 0$。判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，其中 $a=1$，$b=2k-3$，$c=k^2-3$。代入得 $\Delta = (2k-3)^2 - 4(k^2-3) = 4k^2 - 12k + 9 - 4k^2 + 12 = 21 - 12k$。因此，$21 - 12k \geqslant 0$，解得 $k \leqslant \dfrac{7}{4}$。
步骤 2：利用根与系数的关系
根据韦达定理，${x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{b}{a}=-2k+3$，${x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{c}{a}=k^2-3$。根据题目条件 ${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac {1}{{x}_{1}}+\dfrac {1}{{x}_{2}}$，可以得到 ${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$。因此，${x}_{1}+{x}_{2}=0$ 或 ${x}_{1}{x}_{2}=1$。
步骤 3：求解k的值
当 ${x}_{1}+{x}_{2}=0$ 时，$-2k+3=0$，解得 $k=\dfrac{3}{2}$，满足 $k \leqslant \dfrac{7}{4}$。当 ${x}_{1}{x}_{2}=1$ 时，$k^2-3=1$，解得 $k=\pm2$。其中，$k=2$ 不满足 $k \leqslant \dfrac{7}{4}$，因此舍去。所以，k的值为 $\dfrac{3}{2}$ 或 $-2$。
方程 ${x}^{2}+(2k-3)x+{k}^{2}-3=0$ 有两个实数根，因此判别式 $\Delta \geqslant 0$。判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，其中 $a=1$，$b=2k-3$，$c=k^2-3$。代入得 $\Delta = (2k-3)^2 - 4(k^2-3) = 4k^2 - 12k + 9 - 4k^2 + 12 = 21 - 12k$。因此，$21 - 12k \geqslant 0$，解得 $k \leqslant \dfrac{7}{4}$。
步骤 2：利用根与系数的关系
根据韦达定理，${x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{b}{a}=-2k+3$，${x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{c}{a}=k^2-3$。根据题目条件 ${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac {1}{{x}_{1}}+\dfrac {1}{{x}_{2}}$，可以得到 ${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$。因此，${x}_{1}+{x}_{2}=0$ 或 ${x}_{1}{x}_{2}=1$。
步骤 3：求解k的值
当 ${x}_{1}+{x}_{2}=0$ 时，$-2k+3=0$，解得 $k=\dfrac{3}{2}$，满足 $k \leqslant \dfrac{7}{4}$。当 ${x}_{1}{x}_{2}=1$ 时，$k^2-3=1$，解得 $k=\pm2$。其中，$k=2$ 不满足 $k \leqslant \dfrac{7}{4}$，因此舍去。所以，k的值为 $\dfrac{3}{2}$ 或 $-2$。