题目

练习 A,B均为三阶矩阵,满足AB+2A+B+E=0,若 B}1&2&01&2&01&2&1,则|A+E|=____.

练习 A,B均为三阶矩阵,满足$AB+2A+B+E=0$,若 B $\begin{bmatrix}1&2&0\\1&2&0\\1&2&1\end{bmatrix}$,则|A+E|=____.

题目解答

答案

将方程 $AB + 2A + B + E = 0$ 重写为： \[ A(B + 2E) + B + E = 0 \implies A(B + 2E) = -B - E. \] 两边同时加 $B + 2E$： \[ (A + E)(B + 2E) = E. \] 因此，$A + E$ 是 $B + 2E$ 的逆矩阵，行列式满足： \[ |A + E||B + 2E| = 1. \] 计算 $B + 2E$： \[ B + 2E = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}. \] 求行列式： \[ |B + 2E| = 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 0 = 3 \cdot (12 - 0) - 2 \cdot (3 - 0) = 36 - 6 = 30. \] 故： \[ |A + E| = \frac{1}{|B + 2E|} = \frac{1}{30}. \] 答案：$\boxed{\frac{1}{30}}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形、逆矩阵的性质以及行列式的计算。
解题思路：

  1. 方程变形：将原方程通过分组提取公因子，转化为矩阵乘积的形式，进而构造出与$A+E$相关的表达式。
  2. 逆矩阵关系：通过添加适当的矩阵项，使方程左边呈现$(A+E)(B+2E)$的形式，从而得出$A+E$是$B+2E$的逆矩阵。
  3. 行列式性质：利用逆矩阵行列式的倒数关系，结合具体矩阵的行列式计算，最终求解$|A+E|$。

方程变形与逆矩阵关系

原方程为：
$AB + 2A + B + E = 0$
将方程左边分组提取公因子：
$A(B + 2E) + B + E = 0 \implies A(B + 2E) = -B - E$
两边同时加上$B + 2E$：
$A(B + 2E) + (B + 2E) = E \implies (A + E)(B + 2E) = E$
由此可知，$A + E$是$B + 2E$的逆矩阵，即：
$A + E = (B + 2E)^{-1}$

行列式计算

根据逆矩阵的性质：
$|A + E| \cdot |B + 2E| = |E| = 1 \implies |A + E| = \frac{1}{|B + 2E|}$
计算$B + 2E$：
$B + 2E = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}|B + 2E| &= 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 0 \\ &= 3 \cdot (4 \cdot 3 - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) \\ &= 3 \cdot 12 - 2 \cdot 3 = 36 - 6 = 30 \end{aligned}$
因此：
$|A + E| = \frac{1}{30}$