题目

设曲线y=y(x)由方程组y=y(x)确定，试求该曲线在y=y(x)处的导数y=y(x)，y=y(x)。

设曲线 $y=y\left(x\right)$ 由方程组 $\left\{\begin{matrix}x=te^{x}, \\e^{t}+e^{y}=2e, \end{matrix}\right.$ 确定，试求该曲线在 $t=1$ 处的导数 $\frac{dy}{dx}\mid_{t=1}$ ， $\frac{d^2y}{dx^2}\mid_{t=1}$ 。

题目解答

答案

对 $\left\{\begin{matrix}x=te^{x}, \\e^{t}+e^{y}=2e, \end{matrix}\right.$ 两边求导得：

$\frac{dx}{dt}=e^t+te^t=\left(1+t\right)e^t$ ，

$e^t+e^y\bullet\frac{dy}{dt}=0$ ，即 $\frac{dy}{dt}=-e^{t-y}$ ，

所以 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy\bullet dt}{dt\bullet dx}=\frac{-e^{t-y}}{\left(t+1\right)e^t}$ ,

则 $\frac{d\left(y'\right)}{dx}=\frac{e^{-y}\left[-e^{t-y}\left(t+1\right)+1\right]}{\left(t+1\right)^2}$ ,

所以 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d\left(y'\right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{e^{-y}\left[-e^{t-y}\left(t+1\right)+1\right]}{e^t\left(t+1\right)^3}$

将 $t=1$ 代入得： $\frac{dy}{dx}\mid_{t=1}=-\frac{1}{2e}$ ，

$\frac{d^2y}{dx^2}\mid_{t=1}=-\frac{1}{8e^2}$ 。