题目
求微分方程 ''=((y'))^3+y' 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量
令 $y'=p$，则 $y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$。
步骤 2：代入原方程
将 $y''$ 代入原方程得到 $p\dfrac{dp}{dy}=p^3+p$。
步骤 3：分离变量
分离变量得到 $\dfrac{dp}{1+p^2}=dy$。
步骤 4：积分
两边积分得到 $\arctan p=y+C_1$，即 $p=\tan(y+C_1)$。
步骤 5：回代 $y'$
由假设知道 $\dfrac{dy}{dx}=\tan(y+C_1)$，分离变量得到 $\dfrac{dy}{\tan(y+C_1)}=dx$。
步骤 6：积分
两边积分得到 $\ln|\sin(y+C_1)|=x+C_2$。
步骤 7：求解 $y$
由此得到 $y=C_1+\arcsin(e^{C_2}e^x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
令 $y'=p$，则 $y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$。
步骤 2：代入原方程
将 $y''$ 代入原方程得到 $p\dfrac{dp}{dy}=p^3+p$。
步骤 3：分离变量
分离变量得到 $\dfrac{dp}{1+p^2}=dy$。
步骤 4：积分
两边积分得到 $\arctan p=y+C_1$，即 $p=\tan(y+C_1)$。
步骤 5：回代 $y'$
由假设知道 $\dfrac{dy}{dx}=\tan(y+C_1)$，分离变量得到 $\dfrac{dy}{\tan(y+C_1)}=dx$。
步骤 6：积分
两边积分得到 $\ln|\sin(y+C_1)|=x+C_2$。
步骤 7：求解 $y$
由此得到 $y=C_1+\arcsin(e^{C_2}e^x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。