题目
1.求 =2(x)^3-6(x)^2-18x-7 的单调区间和极值
题目解答
答案
【答案】
单调递增区间是$\left(-\infty ,-1\right)$和$\left(3,+\infty \right)$，单调递减区间是$\left(-1,3\right)$；极大值是$3$，极小值是$-61$
【解析】
$\because y=2{x}^{3}-6{x}^{2}-18x-7$，
$\therefore y'=6{x}^{2}-12x-18=6\left(x-3\right)\left(x+1\right)$，
令$y'=0$，解得$x=-1$或$x=3$，
令$y'\gt 0$，解得$x\lt -1$或$x\gt 3$，令$y'\lt 0$，解得$-1\lt x\lt 3$，
$\therefore y=2{x}^{3}-6{x}^{2}-18x-7$的单调递增区间是$\left(-\infty ,-1\right)$和$\left(3,+\infty \right)$，单调递减区间是$\left(-1,3\right)$，
当$x=-1$时，函数取得极大值，极大值是$2\times {\left(-1\right)}^{3}-6\times {\left(-1\right)}^{2}-18\times \left(-1\right)-7=3$，
当$x=3$时，函数取得极小值，极小值是$2\times {3}^{3}-6\times {3}^{2}-18\times 3-7=-61$.
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=2{x}^{3}-6{x}^{2}-18x-7$ 的导数 $y'$。根据导数的定义，我们有：
$$y'=6{x}^{2}-12x-18$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 $y'$ 的零点，即解方程 $y'=0$。将 $y'$ 的表达式代入，我们得到：
$$6{x}^{2}-12x-18=0$$
通过因式分解，我们得到：
$$6\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$$
因此，$x=-1$ 或 $x=3$。
步骤 3：确定单调区间
根据导数的符号，我们可以确定函数的单调区间。当 $y'\gt 0$ 时，函数单调递增；当 $y'\lt 0$ 时，函数单调递减。因此，我们有：
- 当 $x\lt -1$ 或 $x\gt 3$ 时，$y'\gt 0$，函数单调递增；
- 当 $-1\lt x\lt 3$ 时，$y'\lt 0$，函数单调递减。
步骤 4：求极值
最后，我们需要求出函数的极值。根据步骤 2，我们已经知道 $x=-1$ 和 $x=3$ 是导数的零点。因此，我们需要计算这两个点处的函数值：
- 当 $x=-1$ 时，$y=2\times {\left(-1\right)}^{3}-6\times {\left(-1\right)}^{2}-18\times \left(-1\right)-7=3$；
- 当 $x=3$ 时，$y=2\times {3}^{3}-6\times {3}^{2}-18\times 3-7=-61$。
首先，我们需要求出函数 $y=2{x}^{3}-6{x}^{2}-18x-7$ 的导数 $y'$。根据导数的定义，我们有：
$$y'=6{x}^{2}-12x-18$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 $y'$ 的零点，即解方程 $y'=0$。将 $y'$ 的表达式代入，我们得到：
$$6{x}^{2}-12x-18=0$$
通过因式分解，我们得到：
$$6\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$$
因此，$x=-1$ 或 $x=3$。
步骤 3：确定单调区间
根据导数的符号，我们可以确定函数的单调区间。当 $y'\gt 0$ 时，函数单调递增；当 $y'\lt 0$ 时，函数单调递减。因此，我们有：
- 当 $x\lt -1$ 或 $x\gt 3$ 时，$y'\gt 0$，函数单调递增；
- 当 $-1\lt x\lt 3$ 时，$y'\lt 0$，函数单调递减。
步骤 4：求极值
最后，我们需要求出函数的极值。根据步骤 2，我们已经知道 $x=-1$ 和 $x=3$ 是导数的零点。因此，我们需要计算这两个点处的函数值：
- 当 $x=-1$ 时，$y=2\times {\left(-1\right)}^{3}-6\times {\left(-1\right)}^{2}-18\times \left(-1\right)-7=3$；
- 当 $x=3$ 时，$y=2\times {3}^{3}-6\times {3}^{2}-18\times 3-7=-61$。