题目

类似地，可求lim_(ntoinfty)(n^n(n+1)^10)/(3^n)n!.

类似地，可求$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}(n+1)^{10}}{3^{n}n!}$.

题目解答

答案

利用斯特林公式近似 $n!$，有 $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$。代入原式得： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^n (n+1)^{10}}{3^n n!} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{n^n (n+1)^{10}}{3^n \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e}{3} \right)^n \frac{(n+1)^{10}}{\sqrt{2\pi n}} \] 由于 $\frac{e}{3} < 1$，指数项 $\left( \frac{e}{3} \right)^n$ 趋于0，而多项式项 $\frac{(n+1)^{10}}{\sqrt{2\pi n}}$ 增长速度远低于指数衰减，故极限为0。 **答案：** $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查利用斯特林公式处理阶乘的极限问题，以及比较指数函数与多项式函数的增长速率。

解题核心思路：

  1. 斯特林公式：将阶乘$n!$近似为$\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$，简化表达式。
  2. 指数与多项式比较：当底数小于1的指数函数与多项式相乘时，指数函数的衰减速度远快于多项式增长，整体极限趋于0。

破题关键点：

  • 代入斯特林公式，将原式转化为指数和多项式的比值形式。
  • 分析$\left( \frac{e}{3} \right)^n$的衰减速度，结合$\frac{(n+1)^{10}}{\sqrt{n}}$的增长速度，判断极限值。

  1. 代入斯特林公式：
    将$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$代入原式，得：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{n^n (n+1)^{10}}{3^n \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e}{3} \right)^n \frac{(n+1)^{10}}{\sqrt{2\pi n}}$

  2. 分析指数项与多项式项：

    • 指数项：$\frac{e}{3} \approx 0.906 < 1$，因此$\left( \frac{e}{3} \right)^n$随$n$增大趋近于0。
    • 多项式项：$\frac{(n+1)^{10}}{\sqrt{n}} \sim n^{9.5}$，增长速度为多项式级别。

  3. 综合判断极限：
    指数函数的衰减速度远快于多项式增长，因此整体极限为0。