题目
设甲、乙、丙三导弹向同一敌机射击。甲、乙、丙击中敌机的概率分别为0.4,0.5,0.7。如果只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如果两弹击中，飞机坠毁的概率为0.6；如果三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9，若已知飞机坠毁，则是两弹击中的概率是（） A. 0.444B. 0.726C. 0.554D. 0.246
设甲、乙、丙三导弹向同一敌机射击。甲、乙、丙击中敌机的概率分别为$0.4,0.5,0.7$。如果只有一弹击中，飞机坠毁的概率为$0.2$；如果两弹击中，飞机坠毁的概率为$0.6$；如果三弹击中，飞机坠毁的概率为$0.9$，若已知飞机坠毁，则是两弹击中的概率是（）
- A. $0.444$
- B. $0.726$
- C. $0.554$
- D. $0.246$
题目解答
答案
设事件 $A$、$B$、$C$ 分别表示甲、乙、丙击中敌机，概率分别为 $0.4$、$0.5$、$0.7$。定义事件 $B_1$、$B_2$、$B_3$ 分别表示一弹、两弹、三弹击中，飞机坠毁概率分别为 $0.2$、$0.6$、$0.9$。
计算得：
- $P(B_1) = 0.36$（甲或乙或丙单独击中），
- $P(B_2) = 0.41$（甲乙、甲丙、乙丙两两组合击中），
- $P(B_3) = 0.14$（甲乙丙三弹击中）。
利用全概率公式求飞机坠毁概率：
\[ P(D) = 0.2 \times 0.36 + 0.6 \times 0.41 + 0.9 \times 0.14 = 0.444. \]
由贝叶斯定理求两弹击中条件下飞机坠毁的概率：
\[ P(B_2|D) = \frac{0.6 \times 0.41}{0.444} \approx 0.554. \]
答案：$\boxed{C}$
解析
步骤 1：定义事件
设事件 $A$、$B$、$C$ 分别表示甲、乙、丙击中敌机，概率分别为 $0.4$、$0.5$、$0.7$。定义事件 $B_1$、$B_2$、$B_3$ 分别表示一弹、两弹、三弹击中，飞机坠毁概率分别为 $0.2$、$0.6$、$0.9$。
步骤 2：计算各事件概率
- $P(B_1)$：只有一弹击中，即甲、乙、丙中仅一个击中，计算得 $P(B_1) = 0.4 \times 0.5 \times 0.3 + 0.6 \times 0.5 \times 0.7 + 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.36$。
- $P(B_2)$：两弹击中，即甲乙、甲丙、乙丙两两组合击中，计算得 $P(B_2) = 0.4 \times 0.5 \times 0.3 + 0.4 \times 0.5 \times 0.7 + 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.41$。
- $P(B_3)$：三弹击中，即甲乙丙三弹击中，计算得 $P(B_3) = 0.4 \times 0.5 \times 0.7 = 0.14$。
步骤 3：计算飞机坠毁概率
利用全概率公式求飞机坠毁概率：\[ P(D) = 0.2 \times 0.36 + 0.6 \times 0.41 + 0.9 \times 0.14 = 0.444. \]
步骤 4：计算两弹击中条件下飞机坠毁的概率
由贝叶斯定理求两弹击中条件下飞机坠毁的概率：\[ P(B_2|D) = \frac{0.6 \times 0.41}{0.444} \approx 0.554. \]
设事件 $A$、$B$、$C$ 分别表示甲、乙、丙击中敌机，概率分别为 $0.4$、$0.5$、$0.7$。定义事件 $B_1$、$B_2$、$B_3$ 分别表示一弹、两弹、三弹击中，飞机坠毁概率分别为 $0.2$、$0.6$、$0.9$。
步骤 2：计算各事件概率
- $P(B_1)$：只有一弹击中，即甲、乙、丙中仅一个击中，计算得 $P(B_1) = 0.4 \times 0.5 \times 0.3 + 0.6 \times 0.5 \times 0.7 + 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.36$。
- $P(B_2)$：两弹击中，即甲乙、甲丙、乙丙两两组合击中，计算得 $P(B_2) = 0.4 \times 0.5 \times 0.3 + 0.4 \times 0.5 \times 0.7 + 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.41$。
- $P(B_3)$：三弹击中，即甲乙丙三弹击中，计算得 $P(B_3) = 0.4 \times 0.5 \times 0.7 = 0.14$。
步骤 3：计算飞机坠毁概率
利用全概率公式求飞机坠毁概率：\[ P(D) = 0.2 \times 0.36 + 0.6 \times 0.41 + 0.9 \times 0.14 = 0.444. \]
步骤 4：计算两弹击中条件下飞机坠毁的概率
由贝叶斯定理求两弹击中条件下飞机坠毁的概率：\[ P(B_2|D) = \frac{0.6 \times 0.41}{0.444} \approx 0.554. \]