题目

已知实数a≠0，求函数(x)=(a)^2(x)^3-6a(x)^2+9x-|||-__的极值，并判断是极大值还是极小值。

已知实数a≠0，求函数 $f(x)=a^2x^3-6ax^2+9x$ 的极值，并判断是极大值还是极小值。

题目解答

答案

已知函数 $f(x)=a^2x^3-6ax^2+9x$

则 $f'\left(x\right)=3a^2x^2-12ax+9$

$=3\left(ax-1\right)\left(ax-3\right)$

令一阶导数等于0，得到驻点 $x_1=\frac{1}{a},x_2=\frac{3}{a}\left(a\ne0\right)$

再求出二阶导数为 $f''(x)=6a^2x-12a$

所以 $f''(\frac{1}{a})=-6a,f''(\frac{3}{a})=6a$

当a<0时， $f''(\frac{1}{a})=-6a>0,f''(\frac{3}{a})=6a<0$ ，所以驻点 $x_1=\frac{1}{a}$ 为极小值，驻点 $x_2=\frac{3}{a}$ 为极大值

当a>0时， $f''(\frac{1}{a})=-6a<0,f''(\frac{3}{a})=6a>0$ ，所以驻点 $x_1=\frac{1}{a}$ 为极大值，驻点 $x_2=\frac{3}{a}$ 为极小值

解析

步骤 1：求一阶导数
对函数$f(x)={a}^{2}{x}^{3}-6a{x}^{2}+9x$求一阶导数，得到$f'(x)=3{a}^{2}{x}^{2}-12ax+9$。
步骤 2：求驻点
令一阶导数等于0，即$3{a}^{2}{x}^{2}-12ax+9=0$，解得驻点${c}_{1}=\dfrac {1}{a}$和${x}_{2}=\dfrac {3}{a}$。
步骤 3：求二阶导数
对一阶导数求导，得到二阶导数$f''(x)=6{a}^{2}x-12a$。
步骤 4：判断极值
将驻点代入二阶导数中，得到$f''(\dfrac {1}{a})=-6a$和$f''(\dfrac {3}{a})=6a$。当$a<0$时，$f''(\dfrac {1}{a})>0$，$f''(\dfrac {3}{a})<0$，所以${c}_{1}=\dfrac {1}{a}$为极小值，${x}_{2}=\dfrac {3}{a}$为极大值。当$a>0$时，$f''(\dfrac {1}{a})<0$，$f''(\dfrac {3}{a})>0$，所以${c}_{1}=\dfrac {1}{a}$为极大值，${x}_{2}=\dfrac {3}{a}$为极小值。