数列极限lim _(narrow infty )(6(n)^2+2)sin dfrac (1)(3{n)^2+1}=( )A.B.C.2D.3

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用等价无穷小替换处理含有三角函数的乘积形式极限。

解题核心思路：
当$n \rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{3n^2 + 1} \rightarrow 0$，此时$\sin x \approx x$（即$\sin x \sim x$）。通过等价无穷小替换将三角函数部分简化，再结合多项式函数的极限性质求解。

破题关键点：

1. 识别$\sin \dfrac{1}{3n^2 + 1}$在$n \rightarrow \infty$时的等价形式；
2. 将原式转化为多项式分式后，通过最高次项系数比求极限。

步骤1：等价无穷小替换
当$n \rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{3n^2 + 1} \rightarrow 0$，根据等价无穷小关系$\sin x \sim x$，可得：
$\sin \dfrac{1}{3n^2 + 1} \sim \dfrac{1}{3n^2 + 1}.$

步骤2：代入原式并化简
将等价关系代入原式：
$(6n^2 + 2) \cdot \dfrac{1}{3n^2 + 1} = \dfrac{6n^2 + 2}{3n^2 + 1}.$

步骤3：求分式极限
分子分母同除以$n^2$：
$\dfrac{6 + \dfrac{2}{n^2}}{3 + \dfrac{1}{n^2}} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \dfrac{6}{3} = 2.$