证明:lim _(narrow infty )(({2)^n+(4)^n+(6)^n)}^dfrac (1{n)}=6.

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是处理形如$(a^n + b^n + c^n)^{1/n}$的极限问题。关键在于识别主导项并利用其性质简化表达式。

解题核心思路：
当$n$趋向于无穷大时，若$a < b < c$，则$c^n$会主导整个和$a^n + b^n + c^n$。因此，可以将最大项$c^n$提取出来，转化为$c \cdot \left(1 + \left(\frac{a}{c}\right)^n + \left(\frac{b}{c}\right)^n\right)^{1/n}$，再利用$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{a}{c}\right)^n = 0$（当$a < c$时）求解。

破题关键点：

1. 提取最大项：将$6^n$作为主导项提取出来。
2. 分析剩余项的极限：剩余项$\left(\frac{2}{6}\right)^n$和$\left(\frac{4}{6}\right)^n$均趋向于0，从而整体趋向于1。
3. 结合幂运算性质：利用$\lim_{n \to \infty} 1^{1/n} = 1$得出最终结果。

步骤1：提取主导项
将原式中的$6^n$提取出来：
$\begin{aligned}\lim_{n \to \infty} (2^n + 4^n + 6^n)^{1/n} &= \lim_{n \to \infty} \left[6^n \left(\left(\frac{2}{6}\right)^n + \left(\frac{4}{6}\right)^n + 1\right)\right]^{1/n} \\&= \lim_{n \to \infty} 6 \cdot \left[\left(\frac{1}{3}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1\right]^{1/n}.\end{aligned}$

步骤2：分析剩余项的极限
当$n \to \infty$时，$\left(\frac{1}{3}\right)^n \to 0$，$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$，因此：
$\left(\frac{1}{3}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \to 0 + 0 + 1 = 1.$

步骤3：结合幂运算性质
由于$\lim_{n \to \infty} 1^{1/n} = 1$，故：
$\lim_{n \to \infty} 6 \cdot \left[\left(\frac{1}{3}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1\right]^{1/n} = 6 \cdot 1 = 6.$