题目
[题目] =dfrac (1)(sqrt {2-{x)^2}}+arcsin (dfrac (1)(2)x-1) 的定义域是 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\dfrac {1}{\sqrt {2-{x}^{2}}}$ 的定义域
为了使 $\dfrac {1}{\sqrt {2-{x}^{2}}}$ 有意义，根号下的表达式 $2-x^2$ 必须大于0，即 $2-x^2 > 0$。解这个不等式得到 $x^2 < 2$，因此 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$。
步骤 2：确定 $\arcsin (\dfrac {1}{2}x-1)$ 的定义域
为了使 $\arcsin (\dfrac {1}{2}x-1)$ 有意义，其内部的表达式 $\dfrac {1}{2}x-1$ 必须在 $[-1, 1]$ 范围内。即 $-1 \leq \dfrac {1}{2}x-1 \leq 1$。解这个不等式得到 $0 \leq x \leq 4$。
步骤 3：求两个定义域的交集
将步骤1和步骤2得到的定义域进行交集运算，即 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 和 $0 \leq x \leq 4$ 的交集，得到 $0 \leq x < \sqrt{2}$。
为了使 $\dfrac {1}{\sqrt {2-{x}^{2}}}$ 有意义，根号下的表达式 $2-x^2$ 必须大于0，即 $2-x^2 > 0$。解这个不等式得到 $x^2 < 2$，因此 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$。
步骤 2：确定 $\arcsin (\dfrac {1}{2}x-1)$ 的定义域
为了使 $\arcsin (\dfrac {1}{2}x-1)$ 有意义，其内部的表达式 $\dfrac {1}{2}x-1$ 必须在 $[-1, 1]$ 范围内。即 $-1 \leq \dfrac {1}{2}x-1 \leq 1$。解这个不等式得到 $0 \leq x \leq 4$。
步骤 3：求两个定义域的交集
将步骤1和步骤2得到的定义域进行交集运算，即 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 和 $0 \leq x \leq 4$ 的交集，得到 $0 \leq x < \sqrt{2}$。