题目
(20)(本题满分11分)-|||-设三阶矩阵 =[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3)] 有3个不同的特征值,且 _(3)=(a)_(1)+2(a)_(2)-|||-(I)证明 (A)=2;-|||-(Ⅱ)若 beta =(a)_(1)+(a)_(2)+(a)_(3), 求方程组 =beta 的通解.
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：证明 r(A)=2
由 ${a}_{3}={a}_{1}+2{a}_{2}$ 知，向量 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$ 线性相关，因此矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$，即 $\lambda = 0$ 是 $A$ 的一个特征值。又因为 $A$ 有 3 个不同的特征值，设为 $\lambda_1$, $\lambda_2$, $0$（其中 $\lambda_1$, $\lambda_2$ 不为 0）。那么 $A$ 的特征值矩阵为 $\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，所以 $r(A) = r(A) = 2$。
步骤 2：求方程组 $Ax=\beta$ 的通解
由 ${a}_{3}={a}_{1}+2{a}_{2}$ 有 ${a}_{1}+2{a}_{2}-{a}_{3}=0$，那么
$$
A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = [a_1, a_2, a_3] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = a_1 + 2a_2 - a_3 = 0
$$
即 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ 是 $Ax=0$ 的解。
$$
A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = [a_1, a_2, a_3] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = a_1 + a_2 + a_3 = \beta
$$
即 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是 $Ax=\beta$ 的解。
由 $r(A)=2$，按解的结构知 $Ax=\beta$ 的通解为 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$，$k$ 为任意常数。
由 ${a}_{3}={a}_{1}+2{a}_{2}$ 知，向量 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$ 线性相关，因此矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$，即 $\lambda = 0$ 是 $A$ 的一个特征值。又因为 $A$ 有 3 个不同的特征值，设为 $\lambda_1$, $\lambda_2$, $0$（其中 $\lambda_1$, $\lambda_2$ 不为 0）。那么 $A$ 的特征值矩阵为 $\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，所以 $r(A) = r(A) = 2$。
步骤 2：求方程组 $Ax=\beta$ 的通解
由 ${a}_{3}={a}_{1}+2{a}_{2}$ 有 ${a}_{1}+2{a}_{2}-{a}_{3}=0$，那么
$$
A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = [a_1, a_2, a_3] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = a_1 + 2a_2 - a_3 = 0
$$
即 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ 是 $Ax=0$ 的解。
$$
A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = [a_1, a_2, a_3] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = a_1 + a_2 + a_3 = \beta
$$
即 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是 $Ax=\beta$ 的解。
由 $r(A)=2$，按解的结构知 $Ax=\beta$ 的通解为 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$，$k$ 为任意常数。