计算__-|||-lim _(xarrow infty )((sin dfrac {1)(x)+cos dfrac (1)(x))}^x

步骤 1：使用重要极限
已知重要极限：$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{(1+\Delta x)}^{\dfrac {1}{\Delta x}}=e$。将题目中的极限进行变形，以便使用这个重要极限。
步骤 2：变形极限
将题目中的极限变形为：$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\sin \dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x})}^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{(\sin \dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x}-1)\cdot x}$。
步骤 3：求解指数部分的极限
求解$\lim _{x\rightarrow \infty }(\sin \dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x}-1)\cdot x$。使用倒代换$t=\dfrac {1}{x}$，则$x=\dfrac {1}{t}$，当$x\rightarrow \infty$时，$t\rightarrow 0$。因此，原极限变为$\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {\sin t+\cos t-1}{t}$。
步骤 4：使用洛必达法则
使用洛必达法则求解$\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {\sin t+\cos t-1}{t}$。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {\cos t-\sin t}{1}$。
步骤 5：计算极限值
计算$\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {\cos t-\sin t}{1}=\dfrac {\cos 0-\sin 0}{1}=1$。
步骤 6：得出最终结果
将步骤 5 的结果代入步骤 2 的变形极限中，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\sin \dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x})}^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{(\sin \dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x}-1)\cdot x}=e^{1}=e$。