题目

int dfrac (1)(1+cos 2x)dx=______.

$\int_{ }^{ }\frac{1}{1+\cos2x}dx=$ ______.

题目解答

答案

∵ $\frac{d\left(\tan x\right)}{dx}=\sec^2x$

∴ $F\left(x\right)=\tan x$ 是 $f\left(x\right)=\sec^2x$ 的一个原函数

∴ $\int_{ }^{ }\sec^2xdx=\tan x+C$ ，则

$\int_{ }^{ }\frac{1}{1+\cos2x}dx=\int_{ }^{ }\frac{1}{1+\left(2\cos^2x-1\right)}dx$

$=\int_{ }^{ }\frac{1}{2\cos^2x}dx=\frac{1}{2}\int_{ }^{ }\sec^2xdx$

$=\frac{1}{2}\tan x+C$

解析

步骤 1：利用二倍角公式
将$\cos 2x$用二倍角公式表示，即$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$。
步骤 2：化简积分表达式
将$\cos 2x$的表达式代入原积分表达式中，得到$\int \dfrac {1}{1+(2\cos^2 x - 1)}dx$，化简后得到$\int \dfrac {1}{2\cos^2 x}dx$。
步骤 3：利用三角恒等式
利用三角恒等式${\sec}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$，将积分表达式进一步化简为$\dfrac{1}{2}\int {\sec}^2 x dx$。
步骤 4：求解积分
根据积分公式$\int {\sec}^2 x dx = \tan x + C$，求解得到$\dfrac{1}{2}\tan x + C$。