题目
.求下列极限:-|||-(6) lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {2x+1)-3}(sqrt {x-2)-sqrt (2)} ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：有理化分子和分母
为了消除根号，我们分别对分子和分母进行有理化。分子乘以 $\sqrt{2x+1}+3$，分母乘以 $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}$。这样做的目的是使分子和分母中的根号项相消，从而简化极限的计算。
步骤 2：计算有理化后的表达式
分子变为 $(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3) = (2x+1)-9 = 2x-8$。
分母变为 $(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}) = (x-2)-2 = x-4$。
步骤 3：简化并求极限
将分子和分母的表达式代入原极限式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x-8}{x-4}$。由于分子和分母都含有 $(x-4)$，可以约分，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}2 = 2$。但注意到我们有理化时分子和分母分别乘以了 $\sqrt{2x+1}+3$ 和 $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}$，因此最终结果需要乘以这两个表达式在 $x=4$ 时的值，即 $\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。因此，最终结果为 $\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$。
为了消除根号，我们分别对分子和分母进行有理化。分子乘以 $\sqrt{2x+1}+3$，分母乘以 $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}$。这样做的目的是使分子和分母中的根号项相消，从而简化极限的计算。
步骤 2：计算有理化后的表达式
分子变为 $(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3) = (2x+1)-9 = 2x-8$。
分母变为 $(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}) = (x-2)-2 = x-4$。
步骤 3：简化并求极限
将分子和分母的表达式代入原极限式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x-8}{x-4}$。由于分子和分母都含有 $(x-4)$，可以约分，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}2 = 2$。但注意到我们有理化时分子和分母分别乘以了 $\sqrt{2x+1}+3$ 和 $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}$，因此最终结果需要乘以这两个表达式在 $x=4$ 时的值，即 $\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。因此，最终结果为 $\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$。