题目

设y=y(x),及z=z(x)由方程^z-xyz=0及^z-xyz=0所确定，则^z-xyz=0__________

设y=y(x),及z=z(x)由方程 $e^z-xyz=0$ 及 $xz^2=lny$ 所确定，则 $\frac{dz}{dx}|_{x=1}=$ __________

题目解答

答案

将方程2代入到方程1得 $e^x-xze^{xz^2}=0$ 。令 $F(x,z)=e^x-xze^{xz^2}$ ，则 $F_x^{'}=e^x-ze^{xz^2}+xz^3e^{xz^2}$ ， $F_z^{'}=-xe^{xz^2}+2x^2z^2e^{xz^2}$ 。因此 $\frac{dz}{dx}=\frac{-xe^{xz^2}+2x^2z^2e^{xz^2}}{xe^{xz^2}-2x^2z^2e^{xz^2} }$

当 $x=1$ 时 $z=1$ 。因此 $\frac{dz}{dx}|_{x=1}=-1$

解析

步骤 1：将方程2代入到方程1
将$x{z}^{2}=\ln y$代入到${e}^{z}-xyz=0$中，得到${e}^{z}-x{e}^{x{z}^{2}}z=0$。
步骤 2：定义函数F(x,z)
令$F(x,z)={e}^{z}-x{e}^{x{z}^{2}}z$。
步骤 3：计算偏导数
计算$F(x,z)$关于$x$和$z$的偏导数，得到${F}_{x}'=-{e}^{x{z}^{2}}z-x{z}^{3}{e}^{x{z}^{2}}$和${F}_{z}'={e}^{z}-x{e}^{x{z}^{2}}-2{x}^{2}{z}^{2}{e}^{x{z}^{2}}$。
步骤 4：计算$\dfrac {dz}{dx}$
根据隐函数求导法则，$\dfrac {dz}{dx}=-\dfrac {{F}_{x}'}{{F}_{z}'}$，代入偏导数得到$\dfrac {dz}{dx}=\dfrac {{e}^{x{z}^{2}}z+x{z}^{3}{e}^{x{z}^{2}}}{{e}^{z}-x{e}^{x{z}^{2}}-2{x}^{2}{z}^{2}{e}^{x{z}^{2}}}$。
步骤 5：计算$\dfrac {dz}{dx}|_{x=1}$
将$x=1$代入$\dfrac {dz}{dx}$中，得到$\dfrac {dz}{dx}|_{x=1}=\dfrac {{e}^{z}z+z^{3}{e}^{z}}{{e}^{z}-z{e}^{z}-2z^{2}{e}^{z}}$。
步骤 6：计算$\dfrac {dz}{dx}|_{x=1}$的值
由于$z$和$y$由方程${e}^{z}-xyz=0$及$x{z}^{2}=\ln y$所确定，当$x=1$时，$z=0$，代入得到$\dfrac {dz}{dx}|_{x=1}=-1$。