题目
[题目]设 f(x)= {x)^3xleqslant 1 (x)^2xgt 1 . 则f(x)在点 x=1 处的(-|||-)-|||-A.左、右导数都存在-|||-B.左导数存在,但右导数不存在-|||-C.左导数不存在,但右导数存在-|||-D.左、右导数都不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算左导数
根据导数的定义，计算f(x)在x=1处的左导数，即当x从左侧趋近于1时，f(x)的变化率。
$f'(1^-)=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {\dfrac {2}{3}{x}^{3}-\dfrac {2}{3}}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {2{x}^{2}}{1}=2$
步骤 2：计算右导数
同样地，计算f(x)在x=1处的右导数，即当x从右侧趋近于1时，f(x)的变化率。
$f'(1^+)=\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {{x}^{2}-\dfrac {2}{3}}{x-1}=\infty$
步骤 3：判断导数存在性
根据步骤1和步骤2的计算结果，可以看出f(x)在x=1处的左导数存在，但右导数不存在。
根据导数的定义，计算f(x)在x=1处的左导数，即当x从左侧趋近于1时，f(x)的变化率。
$f'(1^-)=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {\dfrac {2}{3}{x}^{3}-\dfrac {2}{3}}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {2{x}^{2}}{1}=2$
步骤 2：计算右导数
同样地，计算f(x)在x=1处的右导数，即当x从右侧趋近于1时，f(x)的变化率。
$f'(1^+)=\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {{x}^{2}-\dfrac {2}{3}}{x-1}=\infty$
步骤 3：判断导数存在性
根据步骤1和步骤2的计算结果，可以看出f(x)在x=1处的左导数存在，但右导数不存在。