(3)曲线y=xln(2+(1)/(x))的渐近线为____

考查要点：本题主要考查曲线渐近线的求解，包括垂直渐近线和斜渐近线的判断与计算。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：寻找函数中使分母为零或对数函数内部趋近于零的点，分析函数在该点附近的趋势。
2. 斜渐近线：当$x \to \infty$时，若$\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$存在，则进一步计算$\lim_{x \to \infty} (y - a x)$得到斜渐近线方程$y = a x + b$。

破题关键点：

• 垂直渐近线：通过分析$\ln(2 + \frac{1}{x})$的定义域，找到使内部表达式趋近于零的$x$值。
• 斜渐近线：利用泰勒展开或等价无穷小替换展开$\ln(2 + \frac{1}{x})$，结合$x$的主导项推导渐近线方程。

垂直渐近线分析

1. 确定对数函数定义域：
   $\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right)$存在当且仅当$2 + \frac{1}{x} > 0$，即$\frac{1}{x} > -2$。

   • 当$x > 0$时，$\frac{1}{x} > -2$恒成立。
   • 当$x < 0$时，$\frac{1}{x} > -2 \implies x > -\frac{1}{2}$。

   因此，定义域为$x > 0$或$-\frac{1}{2} < x < 0$。

2. 分析$x \to -\frac{1}{2}^-$时的趋势：
   当$x \to -\frac{1}{2}^-$（从左侧趋近），$\frac{1}{x} \to -2^+$，故$2 + \frac{1}{x} \to 0^+$，$\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) \to -\infty$。
   此时$y = x \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) \to (-\frac{1}{2}) \cdot (-\infty) = +\infty$，故$x = -\frac{1}{2}$为垂直渐近线。

斜渐近线分析

1. 展开$\ln(2 + \frac{1}{x})$：
   当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x}$趋近于$0$，利用泰勒展开：
   $\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) = \ln 2 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + \cdots$

2. 代入原函数并化简：
   $y = x \left( \ln 2 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + \cdots \right) = x \ln 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8x} + \cdots$

3. 确定斜渐近线：
   当$x \to \infty$时，高阶小项$\frac{1}{8x}$等趋近于$0$，故$y \approx x \ln 2 + \frac{1}{2}$，即斜渐近线为$y = x \ln 2 + \frac{1}{2}$。