题目

28.已知参数方程{}x=2ty=e^t-t^2.，则(dy)/(dx)=____.

28.已知参数方程$\left\{\begin{matrix}x=2t\\y=e^{t}-t^{2}\end{matrix}\right.$，则$\frac{dy}{dx}=$____.

题目解答

答案

由参数方程 $\left\{\begin{matrix}x=2t\\y=e^{t}-t^{2}\end{matrix}\right.$，求导得： \[ \frac{dx}{dt} = 2, \quad \frac{dy}{dt} = e^t - 2t \] 利用参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，得： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{e^t - 2t}{2} \] 或消去参数 $t = \frac{x}{2}$，代入得 $y = e^{\frac{x}{2}} - \frac{x^2}{4}$，求导结果相同。 **答案：** $\boxed{\frac{e^t - 2t}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查参数方程求导的方法，即通过中间变量$t$分别对$x$和$y$求导，再利用链式法则求出$\frac{dy}{dx}$。

解题核心思路：

  1. 分别对$t$求导：先计算$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$。
  2. 链式法则应用：根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，将两个导数相除。
  3. 代数化简（可选）：若需要，可将结果用$x$表示，但题目未明确要求，直接保留关于$t$的表达式即可。

破题关键点：

  • 正确计算导数：注意$e^t$和$t^2$的导数形式。
  • 分式化简：分子为$\frac{dy}{dt}$，分母为$\frac{dx}{dt}$，需确保符号和运算正确。

  1. 计算$\frac{dx}{dt}$
    由$x = 2t$，对$t$求导得：
    $\frac{dx}{dt} = 2.$

  2. 计算$\frac{dy}{dt}$
    由$y = e^t - t^2$，对$t$求导得：
    $\frac{dy}{dt} = e^t - 2t.$

  3. 应用参数方程求导公式
    根据公式$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入上述结果：
    $\frac{dy}{dx} = \frac{e^t - 2t}{2}.$

验证方法（可选）：
若消去参数$t$，由$x = 2t$得$t = \frac{x}{2}$，代入$y$的表达式：
$y = e^{\frac{x}{2}} - \left(\frac{x}{2}\right)^2 = e^{\frac{x}{2}} - \frac{x^2}{4}.$
对$x$直接求导：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} - \frac{x}{2}.$
将$t = \frac{x}{2}$代入，结果与$\frac{e^t - 2t}{2}$一致，验证正确。