题目
(2)方程 ^m-(y)^n=3(x)^2 的特解形式可设为-|||-A) (x)^2+bx+c. (B) ^2(a(x)^2+b).-|||-(C) ^2(a(x)^2+bx+c). (D) (a(x)^2+bx+c).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程的类型
方程 ${y}^{m}-y''=3{x}^{2}$ 是一个二阶非齐次线性微分方程，其中 $y^{m}$ 表示 $y$ 的 $m$ 阶导数，这里 $m=4$，即 $y^{m}=y^{(4)}$。因此，方程可以写为 $y^{(4)}-y''=3{x}^{2}$。
步骤 2：确定特解的形式
对于非齐次线性微分方程，特解的形式通常与非齐次项的形式有关。由于非齐次项是 $3{x}^{2}$，一个多项式，因此特解的形式也应为多项式。但是，由于方程中包含 $y''$，我们需要考虑特解的形式是否与齐次方程的解重合。齐次方程 $y^{(4)}-y''=0$ 的解包含多项式 $1, x, x^2$，因此特解的形式需要乘以 $x^2$ 以避免与齐次解重合。
步骤 3：选择正确的特解形式
根据上述分析，特解的形式应为 ${x}^{2}(a{x}^{2}+bx+c)$，即选项 (C)。
方程 ${y}^{m}-y''=3{x}^{2}$ 是一个二阶非齐次线性微分方程，其中 $y^{m}$ 表示 $y$ 的 $m$ 阶导数，这里 $m=4$，即 $y^{m}=y^{(4)}$。因此，方程可以写为 $y^{(4)}-y''=3{x}^{2}$。
步骤 2：确定特解的形式
对于非齐次线性微分方程，特解的形式通常与非齐次项的形式有关。由于非齐次项是 $3{x}^{2}$，一个多项式，因此特解的形式也应为多项式。但是，由于方程中包含 $y''$，我们需要考虑特解的形式是否与齐次方程的解重合。齐次方程 $y^{(4)}-y''=0$ 的解包含多项式 $1, x, x^2$，因此特解的形式需要乘以 $x^2$ 以避免与齐次解重合。
步骤 3：选择正确的特解形式
根据上述分析，特解的形式应为 ${x}^{2}(a{x}^{2}+bx+c)$，即选项 (C)。