题目
[例3] 设可导函数 y=y(x) 由方程 sin x-(int )_(x)^yvarphi (u)du=0 确定,其中可导函数-|||-varphi (u)gt 0, 且 varphi (0)=varphi '(0)=1, 求y"(0),
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始条件
在方程 $\sin x-{\int }_{x}^{y}\varphi (u)du=0$ 中，令 $x=0$，得到 ${\int }_{0}^{y}\varphi (u)du=0$。由于 $\varphi (u)\gt 0$，则 $y=0$。
步骤 2：求导
对等式 $\sin x-{\int }_{x}^{y}\varphi (u)du=0$ 两端对 $x$ 求导，得到 $\cos x-[ \varphi (y)y'-\varphi (x)] =0$。将 $x=0$，$y=0$ 代入，得到 $y'(0)=2$。
步骤 3：二次求导
对等式 $\cos x-[ \varphi (y)y'-\varphi (x)] =0$ 两端对 $x$ 求导，得到 $-\sin x-[ \varphi '(y){y'}^{2}+\varphi (y)y''-\varphi '(x)] =0$。将 $x=0$，$y=0$，$y'(0)=2$ 代入，得到 $y''(0)=-3$。
在方程 $\sin x-{\int }_{x}^{y}\varphi (u)du=0$ 中，令 $x=0$，得到 ${\int }_{0}^{y}\varphi (u)du=0$。由于 $\varphi (u)\gt 0$，则 $y=0$。
步骤 2：求导
对等式 $\sin x-{\int }_{x}^{y}\varphi (u)du=0$ 两端对 $x$ 求导，得到 $\cos x-[ \varphi (y)y'-\varphi (x)] =0$。将 $x=0$，$y=0$ 代入，得到 $y'(0)=2$。
步骤 3：二次求导
对等式 $\cos x-[ \varphi (y)y'-\varphi (x)] =0$ 两端对 $x$ 求导，得到 $-\sin x-[ \varphi '(y){y'}^{2}+\varphi (y)y''-\varphi '(x)] =0$。将 $x=0$，$y=0$，$y'(0)=2$ 代入，得到 $y''(0)=-3$。