题目
设y(x)是区间 (0,dfrac (3)(2)) 内的可导函数,且 (1)=0, 点P是曲线 :y=y(x)-|||-上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,Yp ),法线与x轴相交于点(Xp,0),-|||-若 _(P)=(Y)_(P), 求L上点的坐标(x,y)满足的方程.

题目解答
答案

解析
步骤 1:确定切线方程
曲线 $L: y = y(x)$ 在点 $P(x, y)$ 处的切线方程为 $Y - y = y'(x)(X - x)$。当 $X = 0$ 时,$Y = y - xy'(x)$,即 ${Y}_{P} = y - xy'(x)$。
步骤 2:确定法线方程
曲线 $L: y = y(x)$ 在点 $P(x, y)$ 处的法线方程为 $Y - y = -\dfrac{1}{y'(x)}(X - x)$。当 $Y = 0$ 时,$X = x + y \cdot y'(x)$,即 ${X}_{P} = x + y \cdot y'(x)$。
步骤 3:利用 ${X}_{P} = {Y}_{P}$ 的条件
由 ${X}_{P} = {Y}_{P}$,我们有 $x + y \cdot y'(x) = y - xy'(x)$,即 $y'(x) = \dfrac{y - x}{y + x}$。
步骤 4:求解微分方程
令 $u(x) = \dfrac{y}{x}$,则 $y = ux$,$y' = u + xu'$。代入 $y'(x) = \dfrac{y - x}{y + x}$,得到 $u + xu' = \dfrac{u - 1}{u + 1}$,即 $xu' = \dfrac{u - 1}{u + 1} - u = \dfrac{-2u^2 - 1}{u + 1}$。分离变量得 $\dfrac{u + 1}{-2u^2 - 1}du = \dfrac{1}{x}dx$。积分得 $\int \dfrac{u + 1}{-2u^2 - 1}du = \int \dfrac{1}{x}dx$,即 $\dfrac{1}{2}\ln(2u^2 + 1) + \arctan(u) = \ln|x| + C$。代回 $u = \dfrac{y}{x}$,得 $\dfrac{1}{2}\ln(2(\dfrac{y}{x})^2 + 1) + \arctan(\dfrac{y}{x}) = \ln|x| + C$。整理得 $\ln(x^2 + y^2) + 2\arctan(\dfrac{y}{x}) = C$。由 $y(1) = 0$,得 $C = 0$。因此,$L$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程为 $\ln(x^2 + y^2) + 2\arctan(\dfrac{y}{x}) = 0$,$x \in (0, \dfrac{3}{2})$。
曲线 $L: y = y(x)$ 在点 $P(x, y)$ 处的切线方程为 $Y - y = y'(x)(X - x)$。当 $X = 0$ 时,$Y = y - xy'(x)$,即 ${Y}_{P} = y - xy'(x)$。
步骤 2:确定法线方程
曲线 $L: y = y(x)$ 在点 $P(x, y)$ 处的法线方程为 $Y - y = -\dfrac{1}{y'(x)}(X - x)$。当 $Y = 0$ 时,$X = x + y \cdot y'(x)$,即 ${X}_{P} = x + y \cdot y'(x)$。
步骤 3:利用 ${X}_{P} = {Y}_{P}$ 的条件
由 ${X}_{P} = {Y}_{P}$,我们有 $x + y \cdot y'(x) = y - xy'(x)$,即 $y'(x) = \dfrac{y - x}{y + x}$。
步骤 4:求解微分方程
令 $u(x) = \dfrac{y}{x}$,则 $y = ux$,$y' = u + xu'$。代入 $y'(x) = \dfrac{y - x}{y + x}$,得到 $u + xu' = \dfrac{u - 1}{u + 1}$,即 $xu' = \dfrac{u - 1}{u + 1} - u = \dfrac{-2u^2 - 1}{u + 1}$。分离变量得 $\dfrac{u + 1}{-2u^2 - 1}du = \dfrac{1}{x}dx$。积分得 $\int \dfrac{u + 1}{-2u^2 - 1}du = \int \dfrac{1}{x}dx$,即 $\dfrac{1}{2}\ln(2u^2 + 1) + \arctan(u) = \ln|x| + C$。代回 $u = \dfrac{y}{x}$,得 $\dfrac{1}{2}\ln(2(\dfrac{y}{x})^2 + 1) + \arctan(\dfrac{y}{x}) = \ln|x| + C$。整理得 $\ln(x^2 + y^2) + 2\arctan(\dfrac{y}{x}) = C$。由 $y(1) = 0$,得 $C = 0$。因此,$L$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程为 $\ln(x^2 + y^2) + 2\arctan(\dfrac{y}{x}) = 0$,$x \in (0, \dfrac{3}{2})$。