[题目]求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (3sin x+{x)^2cos dfrac (1)(x)}((1+cos x)ln (1+x))

步骤 1：利用等价无穷小替换
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin x\sim x$，$\ln (1+x)\sim x$，$\cos x\rightarrow 1$。因此，原极限可以简化为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3\sin x+{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x+{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{2x}$$

步骤 2：化简极限表达式
将上式进一步化简，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x+{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {3}{2} + \dfrac {x\cos \dfrac {1}{x}}{2}\right)$$

步骤 3：分析极限的收敛性
当 $x\rightarrow 0$ 时，$x\rightarrow 0$，$\cos \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1,1]$ 之间波动，但 $x\cos \dfrac {1}{x}$ 的值趋向于 $0$，因为 $x$ 的绝对值趋向于 $0$，而 $\cos \dfrac {1}{x}$ 有界。因此，原极限可以简化为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {3}{2} + \dfrac {x\cos \dfrac {1}{x}}{2}\right) = \dfrac {3}{2}$$