题目
188 int_(0)^+inftysqrt(x)e^-xdx=(A) sqrt(pi). (B) pi. (C) (sqrt(pi))/(2)
188 $\int_{0}^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx=$
(A) $\sqrt{\pi}.$ (B) $\pi.$ (C) $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
题目解答
答案
令 $t = x$，则原积分可表示为伽玛函数形式：
\[
\int_{0}^{+\infty} x^{1/2} e^{-x} dx = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)
\]
利用伽玛函数的递推公式 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$，得：
\[
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)
\]
已知 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$，代入得：
\[
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}
\]
因此，原积分值为 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$，答案为 $\boxed{C}$。