(2025,3)设A为三阶矩阵,则“A^3-A^2可对角化”是“A可对角化”的 (A.)充分但不必要条件. (B.)必要但不充分条件. (C.)充分必要条件. (D.)既不充分也不必要条件.

考查要点：本题主要考查矩阵的可对角化性质及其多项式矩阵的可对角化关系，涉及必要条件与充分条件的判断。

解题核心思路：

1. 必要性：若$A$可对角化，则通过相似变换可证明$A^3 - A^2$必然可对角化。
2. 充分性：需构造反例说明存在$A^3 - A^2$可对角化但$A$不可对角化的矩阵，从而否定充分性。

破题关键点：

• 矩阵多项式的对角化性质：对角矩阵的多项式仍为对角矩阵。
• Jordan块矩阵的性质：不可对角化的Jordan块矩阵在特定多项式作用下可能变为可对角化矩阵。

必要性成立

若$A$可对角化，则存在可逆矩阵$P$和对角矩阵$D$，使得$A = PDP^{-1}$。计算$A^3 - A^2$：
$A^3 - A^2 = P(D^3 - D^2)P^{-1}.$
由于$D^3 - D^2$仍为对角矩阵，故$A^3 - A^2$可对角化。因此，“$A$可对角化”是“$A^3 - A^2$可对角化”的必要条件。

充分性不成立

构造反例：取三阶Jordan块矩阵
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
计算得：
$A^3 - A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

• $A$不可对角化：特征值全为1，几何重数为2（代数重数为3），不可对角化。
• $A^3 - A^2$可对角化：特征值全为0，几何重数为2（秩为1），可对角化为零矩阵。

因此，“$A^3 - A^2$可对角化”不能保证“$A$可对角化”，即充分性不成立。