题目

设3阶矩阵A=(a_(ij))_(3times 3)满足A^T=kA^*(k>0),若a_(11)=a_(12)=a_(13)=c>0,则c=（） (A.)(sqrt(3))/(3k). (B.)(sqrt(3)k^2)/(3). (C.)sqrt(3)k^2. (D.)(sqrt(3))/(k^2).

设3阶矩阵$A=(a_{ij})_{3\times 3}$满足$A^{T}=kA^{*}(k>0)$,若$a_{11}=a_{12}=a_{13}=c>0$,则$c=（）$ (
A.)$\frac{\sqrt{3}}{3k}$. (
B.)$\frac{\sqrt{3}k^{2}}{3}$. (
C.)$\sqrt{3}k^{2}$. (
D.)$\frac{\sqrt{3}}{k^{2}}$.

题目解答

答案

由 $ A^T = kA^* $，取行列式得 $ |A| = \frac{1}{k^3} $。 设 $ A = \begin{pmatrix} c & c & c \\ a & b & d \\ e & f & g \end{pmatrix} $，则 \[ AA^T = \begin{pmatrix} 3c^2 & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix} = k|A|I. \] 由 $ 3c^2 = k|A| $，代入 $ |A| = \frac{1}{k^3} $ 得 \[ 3c^2 = \frac{k}{k^3} = \frac{1}{k^2}, \] 解得 \[ c = \frac{\sqrt{3}}{3k}. \] **答案：** $\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的转置、伴随矩阵的性质，以及行列式的计算。关键在于利用已知条件建立方程，结合矩阵乘法和行列式的性质求解未知量。

解题思路：

  1. 利用行列式性质：对等式$A^T = kA^*$取行列式，结合伴随矩阵的行列式公式，得到$|A|$的表达式。
  2. 构造矩阵乘法关系：将原等式转化为$AA^T = k|A|I$，通过计算$AA^T$的对角线元素建立方程。
  3. 代入已知条件：利用第一行元素均为$c$的特点，计算$AA^T$的$(1,1)$元素，联立方程求解$c$。

破题关键：

  • 伴随矩阵与行列式的关联：$A^* = |A|A^{-1}$（当$A$可逆时）。
  • 矩阵乘法的对角线元素：通过$AA^T$的对角线元素快速建立方程。

步骤1：求行列式$|A|$

对等式$A^T = kA^*$取行列式：
$|A^T| = |kA^*|$
根据行列式的性质：

  • $|A^T| = |A|$，
  • $|kA^*| = k^3 |A^*| = k^3 |A|^{2}$（伴随矩阵行列式为$|A|^{n-1}$，此处$n=3$）。

因此：
$|A| = k^3 |A|^{2} \implies |A| = \frac{1}{k^3} \quad (\text{假设$|A| \neq 0$})$

步骤2：构造矩阵乘法关系

将原等式$A^T = kA^*$改写为：
$AA^T = k|A|I$
其中，$A^* = |A|A^{-1}$（因$A$可逆）。

步骤3：计算$AA^T$的$(1,1)$元素

矩阵$A$的第一行为$[c, c, c]$，故：
$(AA^T)_{11} = c^2 + c^2 + c^2 = 3c^2$
根据等式$AA^T = k|A|I$，有：
$3c^2 = k|A|$
代入$|A| = \frac{1}{k^3}$：
$3c^2 = k \cdot \frac{1}{k^3} \implies 3c^2 = \frac{1}{k^2} \implies c = \frac{\sqrt{3}}{3k}$