题目
29、微分方程 '=(2)^x-y 的通解为 ()-|||-A. ^x-(2)^y=C B. ^x-(2)^y=0-|||-C. ^x+(2)^y=C D. ^x+(2)^y=0-|||-bigcirc A-|||-bigcirc B-|||-bigcirc C-|||-bigcirc D
题目解答
答案
解析
步骤 1：将微分方程 $y'={2}^{x-y}$ 转换为可分离变量的形式
微分方程 $y'={2}^{x-y}$ 可以写成 $\dfrac {dy}{dx}={2}^{x-y}$，进一步可以写成 ${2}^{y}dy={2}^{x}dx$。
步骤 2：对两边进行积分
对 ${2}^{y}dy={2}^{x}dx$ 两边同时积分，得到 $\int {2}^{y}dy=\int {2}^{x}dx$。
步骤 3：计算积分
左边的积分 $\int {2}^{y}dy$ 可以写成 $\dfrac {{2}^{y}}{\ln 2}+C_1$，右边的积分 $\int {2}^{x}dx$ 可以写成 $\dfrac {{2}^{x}}{\ln 2}+C_2$。因此，我们有 $\dfrac {{2}^{y}}{\ln 2}=\dfrac {{2}^{x}}{\ln 2}+C$，其中 $C=C_2-C_1$ 是积分常数。
步骤 4：整理得到通解
将上式两边同时乘以 $\ln 2$，得到 ${2}^{y}={2}^{x}+C\ln 2$。由于 $C\ln 2$ 仍然是一个常数，我们可以将其记为 $C$，因此通解为 ${2}^{y}={2}^{x}+C$。
微分方程 $y'={2}^{x-y}$ 可以写成 $\dfrac {dy}{dx}={2}^{x-y}$，进一步可以写成 ${2}^{y}dy={2}^{x}dx$。
步骤 2：对两边进行积分
对 ${2}^{y}dy={2}^{x}dx$ 两边同时积分，得到 $\int {2}^{y}dy=\int {2}^{x}dx$。
步骤 3：计算积分
左边的积分 $\int {2}^{y}dy$ 可以写成 $\dfrac {{2}^{y}}{\ln 2}+C_1$，右边的积分 $\int {2}^{x}dx$ 可以写成 $\dfrac {{2}^{x}}{\ln 2}+C_2$。因此，我们有 $\dfrac {{2}^{y}}{\ln 2}=\dfrac {{2}^{x}}{\ln 2}+C$，其中 $C=C_2-C_1$ 是积分常数。
步骤 4：整理得到通解
将上式两边同时乘以 $\ln 2$，得到 ${2}^{y}={2}^{x}+C\ln 2$。由于 $C\ln 2$ 仍然是一个常数，我们可以将其记为 $C$，因此通解为 ${2}^{y}={2}^{x}+C$。