题目
已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解．
已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解．
题目解答
答案
[解]y2-y1=x2，y3-y1=ex为齐次方程的两个线性无关的特解，则求方程通解为y=C1x2+C2ex+3． y=C1x2+C2ex+3 (1) (1)式求导得 y’=2C1x+C2ex (2) 再求导得 y"=2C1+C2ex (3) (3)-(2)得 y"-y’=2C1(1-x) (4) (1)-(2)得 y-y’=C1(x2-2x)+3 (5) 联立(5)式和(4)式消去C1得 (2x-x2)y"+(x2-2)y’+2(1-x)y=6(1-x)
解析
步骤 1：确定齐次方程的特解
由于y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，我们可以通过y2-y1和y3-y1来确定齐次方程的两个线性无关的特解。y2-y1=x2，y3-y1=ex，因此齐次方程的两个线性无关的特解为x2和ex。
步骤 2：写出齐次方程的通解
齐次方程的通解为y=C1x2+C2ex，其中C1和C2是任意常数。
步骤 3：写出非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。由于y1=3是方程的一个特解，因此非齐次方程的通解为y=C1x2+C2ex+3。
步骤 4：确定微分方程
为了确定微分方程，我们需要从通解中消去任意常数C1和C2。首先，对通解y=C1x2+C2ex+3求导，得到y'=2C1x+C2ex。再次求导，得到y''=2C1+C2ex。然后，我们可以通过消去C1和C2来得到微分方程。首先，从y''=2C1+C2ex中解出C1，得到C1=(y''-C2ex)/2。然后，将C1代入y'=2C1x+C2ex中，得到y'=x(y''-C2ex)+C2ex。最后，将C1和C2代入y=C1x2+C2ex+3中，得到y=(x2/2)(y''-C2ex)+C2ex+3。通过消去C2，我们可以得到微分方程(2x-x2)y"+(x2-2)y'+2(1-x)y=6(1-x)。
由于y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，我们可以通过y2-y1和y3-y1来确定齐次方程的两个线性无关的特解。y2-y1=x2，y3-y1=ex，因此齐次方程的两个线性无关的特解为x2和ex。
步骤 2：写出齐次方程的通解
齐次方程的通解为y=C1x2+C2ex，其中C1和C2是任意常数。
步骤 3：写出非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。由于y1=3是方程的一个特解，因此非齐次方程的通解为y=C1x2+C2ex+3。
步骤 4：确定微分方程
为了确定微分方程，我们需要从通解中消去任意常数C1和C2。首先，对通解y=C1x2+C2ex+3求导，得到y'=2C1x+C2ex。再次求导，得到y''=2C1+C2ex。然后，我们可以通过消去C1和C2来得到微分方程。首先，从y''=2C1+C2ex中解出C1，得到C1=(y''-C2ex)/2。然后，将C1代入y'=2C1x+C2ex中，得到y'=x(y''-C2ex)+C2ex。最后，将C1和C2代入y=C1x2+C2ex+3中，得到y=(x2/2)(y''-C2ex)+C2ex+3。通过消去C2，我们可以得到微分方程(2x-x2)y"+(x2-2)y'+2(1-x)y=6(1-x)。