题目
1.求下列极限：（2）lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (ln sin x)({(pi -2x))^2}
1.求下列极限：
（2）
题目解答
答案
在本题中，根据常见的等价无穷小：
时，
，且
，
时，
，可得到
，因此原极限可化为：
.由于时，
，因此，根据洛必达法则：
原极限的值为
.
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，$\sin x\rightarrow 1$，因此$\ln \sin x$可以使用等价无穷小替换，即$\ln \sin x\sim \sin x-1$。这是因为当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1+x)\sim x$，而$\sin x-1$在$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时趋于0，所以$\ln \sin x\sim \sin x-1$。
步骤 2：代入等价无穷小
将$\ln \sin x$替换为$\sin x-1$，原极限变为$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\sin x-1}{{(\pi -2x)}^{2}}$。
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时都趋于0，可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\cos x}{-4(\pi -2x)}$。再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\sin x}{8}$。将$x=\dfrac {\pi }{2}$代入，得到$\dfrac {-\sin \dfrac {\pi }{2}}{8}=-\dfrac {1}{8}$。
当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，$\sin x\rightarrow 1$，因此$\ln \sin x$可以使用等价无穷小替换，即$\ln \sin x\sim \sin x-1$。这是因为当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1+x)\sim x$，而$\sin x-1$在$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时趋于0，所以$\ln \sin x\sim \sin x-1$。
步骤 2：代入等价无穷小
将$\ln \sin x$替换为$\sin x-1$，原极限变为$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\sin x-1}{{(\pi -2x)}^{2}}$。
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时都趋于0，可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\cos x}{-4(\pi -2x)}$。再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\sin x}{8}$。将$x=\dfrac {\pi }{2}$代入，得到$\dfrac {-\sin \dfrac {\pi }{2}}{8}=-\dfrac {1}{8}$。