题目
44 求极限lim_(ntoinfty)(1+2+...+n)/(n^2).
44 求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}$.
题目解答
答案
利用前 $n$ 个正整数和的公式，有：
\[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
代入原式得：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及前n个正整数和的公式的应用以及无穷大极限的化简技巧。
解题核心思路：
- 利用求和公式将分子转化为关于n的表达式，简化分式；
- 约分后分离主部，通过分析最高次项的系数确定极限值；
- 或通过拆分分式，将极限转化为已知的基本极限形式。
破题关键点：
- 正确应用求和公式：$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$；
- 化简分式后忽略低阶无穷小：当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$。
步骤1：代入求和公式
前n个正整数的和为：
$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
代入原式得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}$
步骤2：化简分式
分子展开为$n^2 + n$，分母为$2n^2$，分式可拆分为：
$\frac{n^2 + n}{2n^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$
步骤3：求极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2}$