题目
(1)过单叶双曲面 dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(2)-2(z)^2=1 与球面 ^2+(y)^2+(z)^2=4 的交线且与直线-|||- ) x=0 3y+z=0 . 垂直的平面方程为 __ 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
直线 $\left \{ \begin{matrix} x=0,\\ 3y+z=0\end{matrix} \right.$ 的方向向量为 $\vec{s}=(1,0,0)×(0,3,1)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix}=-\vec{j}+3\vec{k}$。因此，直线的方向向量为 $(0,1,-3)$。
步骤 2：确定所求平面的法向量
由于所求平面与直线垂直，所以所求平面的法向量为 $(0,1,-3)$。
步骤 3：确定所求平面的方程
联立 $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {{x}^{2}}{4}+\dfrac {{y}^{2}}{2}-2{z}^{2}=1\\ {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4,\end{matrix} \right.$ 消去 $x^2$ 可得 ${y}^{2}=9{z}^{2}$，即两曲面交线上的点满足 $y-3z=0$ 或 $y+3z=0$。由所求平面的法向向量为 $(0,1,-3)$ 得所求平面方程为 $y-3z=0$。
直线 $\left \{ \begin{matrix} x=0,\\ 3y+z=0\end{matrix} \right.$ 的方向向量为 $\vec{s}=(1,0,0)×(0,3,1)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix}=-\vec{j}+3\vec{k}$。因此，直线的方向向量为 $(0,1,-3)$。
步骤 2：确定所求平面的法向量
由于所求平面与直线垂直，所以所求平面的法向量为 $(0,1,-3)$。
步骤 3：确定所求平面的方程
联立 $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {{x}^{2}}{4}+\dfrac {{y}^{2}}{2}-2{z}^{2}=1\\ {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4,\end{matrix} \right.$ 消去 $x^2$ 可得 ${y}^{2}=9{z}^{2}$，即两曲面交线上的点满足 $y-3z=0$ 或 $y+3z=0$。由所求平面的法向向量为 $(0,1,-3)$ 得所求平面方程为 $y-3z=0$。