题目
18. (12分) 已知x-cos2x，x-sin2x和x是微分方程y^primeprime+p(x)y^prime+q(x)y=f(x)的三个特解.试求函数p(x)，q(x)和f(x)及该方程的一般解.
18. (12分)
已知$x-\cos2x$，$x-\sin2x$和x是微分方程$y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x)$的三个特解.试求函数p(x)，q(x)和f(x)及该方程的一般解.
题目解答
答案
已知 $x - \cos 2x$，$x - \sin 2x$，和 $x$ 是微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的特解。
1. **求齐次方程解**：
非齐次方程解之差为齐次方程解，得 $-\cos 2x$ 和 $-\sin 2x$。
故齐次方程通解为 $y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$，特征根为 $\pm 2i$，特征方程为 $r^2 + 4 = 0$。
因此，$p(x) = 0$，$q(x) = 4$。
2. **求非齐次方程**：
将 $y = x$ 代入原方程，得 $f(x) = 4x$。
3. **一般解**：
非齐次方程通解为 $y = y_h + y_p = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + x$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{aligned}
& p(x) = 0, \\
& q(x) = 4, \\
& f(x) = 4x, \\
& y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + x.
\end{aligned}
}
\]