设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时， (Ⅰ) β不能由α1，α2，α3线性表示； (Ⅱ) β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式； (Ⅲ) β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．

步骤 1：构造方程组
β能否由α1，α2，α3线性表示的问题等价于讨论方程组k1α1+k2α2+k3α3=β的解的性质，其中k1，k2，k3是引入的一组数。该方程组系数矩阵为A=(α1，α2，α3)，增广矩阵为
\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & a+2 & -b-2 & 3 \\
0 & -3a & a+2b & -3 \\
\end{array} \right) \]

步骤 2：化简增广矩阵
利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵：
\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & a & -b & 1 \\
0 & 0 & a-b & 0 \\
\end{array} \right) \]

步骤 3：讨论a，b的取值
(Ⅰ) 当a=0，b为任意常数时，阶梯形变为
\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -b & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array} \right) \]
则R(A)≠R(A|β)，从而原方程组无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示。

(Ⅱ) 当a≠0，且a≠b时，显然R(A)=R(A|β)=3，因此原方程组有唯一解
\[ \left( \begin{array}{c}
k1 \\
k2 \\
k3 \\
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\frac{1}{a} \\
\frac{1}{a} \\
\frac{1}{a-b} \\
\end{array} \right) \]
即β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为
\[ β = \frac{1}{a}α1 + \frac{1}{a}α2 + \frac{1}{a-b}α3 \]

(Ⅲ) 当a=b≠0时，(A|β)的阶梯形可化为
\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & a & -a & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array} \right) \]
则R(A)=R(A|β)=2，从而原方程组有无穷多解。令k为任意常数，则
\[ \left( \begin{array}{c}
k1 \\
k2 \\
k3 \\
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\frac{1}{a} + k \\
\frac{1}{a} - k \\
k \\
\end{array} \right) \]
即β可由α1，α2，α3线性表示，表示式不唯一，
\[ β = (\frac{1}{a} + k)α1 + (\frac{1}{a} - k)α2 + kα3 \]