一、单选题 8、曲面z=x^2+y^2,z=x^2+y^2的类型是 A. 抛物面 B. 双曲面 C. 柱面 D. 平面

考查要点：本题主要考查对二次曲面类型的识别能力，需要根据方程形式判断曲面类型。

解题核心思路：

1. 观察方程形式：方程为$z = x^2 + y^2$，属于二次函数，需判断其属于抛物面、双曲面、柱面还是平面。
2. 固定$z$分析截面：当$z$为常数时，方程变为$x^2 + y^2 = c$，表示圆，且半径随$z$增大而增大，符合抛物面特征。
3. 排除法：双曲面含负号，柱面仅含两个变量，平面为一次方程，均不符合。

关键点：

• 抛物面的方程形式为二次项相加且无负号，截面圆半径随高度变化。
• 其他选项的方程特征与题目不符。

步骤1：分析方程形式
方程$z = x^2 + y^2$是关于$x$和$y$的二次函数，且所有项均为正，无负号。

步骤2：固定$z$分析截面
当$z = c$（$c$为常数）时，方程变为$x^2 + y^2 = c$，表示$xy$-平面上以原点为中心、半径为$\sqrt{c}$的圆。随着$z$增大，圆的半径$\sqrt{z}$线性增大，符合旋转抛物面的几何特征。

步骤3：排除其他选项

• 双曲面：方程通常含$x^2$、$y^2$、$z^2$的正负组合（如$x^2 + y^2 - z^2 = 1$），本题无负号，排除。
• 柱面：方程应仅含两个变量（如$x^2 + y^2 = r^2$，$z$任意），但本题$z$与$x$、$y$相关，排除。
• 平面：方程应为一次函数（如$ax + by + cz = d$），本题为二次方程，排除。

结论：方程$z = x^2 + y^2$表示旋转抛物面，正确答案为A。