题目
已知平面上的两点A（4，6），B（6，4），C为椭圆(x^2)/(5)+(y^2)/(20)=1上的点，求△ABC面积的最大值和最小值．
已知平面上的两点A（4，6），B（6，4），C为椭圆$\frac{x^{2}}{5}$+$\frac{y^{2}}{20}$=1上的点，求△ABC面积的最大值和最小值．
题目解答
答案
解：由点C是椭圆$\frac{x^{2}}{5}$+$\frac{y^{2}}{20}$=1上任一点，
可设C（$\sqrt{5}$cosα，2$\sqrt{5}$sinα），
点C到直线AB：x+y-10=0的距离：
d=$\frac{|\sqrt{5}cosα+2\sqrt{5}sinα-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（α+θ）-10|}{\sqrt{2}}$（其中sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
∴dmin=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，dmax=$\frac{15}{\sqrt{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{（4-6）^{2}+（6-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC面积的最小值为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{5}{\sqrt{2}}$=5．
最大值为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{15}{\sqrt{2}}$=15．
可设C（$\sqrt{5}$cosα，2$\sqrt{5}$sinα），
点C到直线AB：x+y-10=0的距离：
d=$\frac{|\sqrt{5}cosα+2\sqrt{5}sinα-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（α+θ）-10|}{\sqrt{2}}$（其中sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
∴dmin=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，dmax=$\frac{15}{\sqrt{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{（4-6）^{2}+（6-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC面积的最小值为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{5}{\sqrt{2}}$=5．
最大值为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{15}{\sqrt{2}}$=15．
解析
步骤 1：确定直线AB的方程
根据点A（4，6）和B（6，4），可以求出直线AB的方程。直线AB的斜率m = (4-6)/(6-4) = -1，因此直线AB的方程为y - 6 = -1(x - 4)，即x + y - 10 = 0。
步骤 2：确定点C到直线AB的距离
点C在椭圆$\frac{x^{2}}{5}$+$\frac{y^{2}}{20}$=1上，设C的坐标为（$\sqrt{5}$cosα，2$\sqrt{5}$sinα）。点C到直线AB的距离d可以用点到直线的距离公式计算，即d = $\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，其中A=1，B=1，C=-10，x_1=$\sqrt{5}$cosα，y_1=2$\sqrt{5}$sinα。代入后得到d = $\frac{|\sqrt{5}cosα + 2\sqrt{5}sinα - 10|}{\sqrt{2}}$ = $\frac{|5sin(α + θ) - 10|}{\sqrt{2}}$，其中sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
步骤 3：确定d的最大值和最小值
由于sin(α + θ)的取值范围是[-1, 1]，所以d的最大值和最小值分别为$\frac{15}{\sqrt{2}}$和$\frac{5}{\sqrt{2}}$。
步骤 4：计算△ABC面积的最大值和最小值
△ABC的面积S = $\frac{1}{2}$ * |AB| * d，其中|AB| = $\sqrt{(4-6)^2 + (6-4)^2}$ = 2$\sqrt{2}$。因此，△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2} * 2\sqrt{2} * \frac{15}{\sqrt{2}}$ = 15，最小值为$\frac{1}{2} * 2\sqrt{2} * \frac{5}{\sqrt{2}}$ = 5。
根据点A（4，6）和B（6，4），可以求出直线AB的方程。直线AB的斜率m = (4-6)/(6-4) = -1，因此直线AB的方程为y - 6 = -1(x - 4)，即x + y - 10 = 0。
步骤 2：确定点C到直线AB的距离
点C在椭圆$\frac{x^{2}}{5}$+$\frac{y^{2}}{20}$=1上，设C的坐标为（$\sqrt{5}$cosα，2$\sqrt{5}$sinα）。点C到直线AB的距离d可以用点到直线的距离公式计算，即d = $\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，其中A=1，B=1，C=-10，x_1=$\sqrt{5}$cosα，y_1=2$\sqrt{5}$sinα。代入后得到d = $\frac{|\sqrt{5}cosα + 2\sqrt{5}sinα - 10|}{\sqrt{2}}$ = $\frac{|5sin(α + θ) - 10|}{\sqrt{2}}$，其中sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
步骤 3：确定d的最大值和最小值
由于sin(α + θ)的取值范围是[-1, 1]，所以d的最大值和最小值分别为$\frac{15}{\sqrt{2}}$和$\frac{5}{\sqrt{2}}$。
步骤 4：计算△ABC面积的最大值和最小值
△ABC的面积S = $\frac{1}{2}$ * |AB| * d，其中|AB| = $\sqrt{(4-6)^2 + (6-4)^2}$ = 2$\sqrt{2}$。因此，△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2} * 2\sqrt{2} * \frac{15}{\sqrt{2}}$ = 15，最小值为$\frac{1}{2} * 2\sqrt{2} * \frac{5}{\sqrt{2}}$ = 5。