题目
6.设函数f (e^x -1)=x^2+5x+1,则 f(x)= 【 】-|||-A. (ln )^2(x+1)+5ln (x+1)+1 B. (ln )^2(x-1)+5ln (x-1)+1-|||-C. ^2x+5(e)^x-1 D. ^2(x+1)+5(e)^x+1-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元法
令 $t = e^x - 1$，则 $e^x = t + 1$，从而 $x = \ln(t + 1)$。
步骤 2：代入原函数
将 $x = \ln(t + 1)$ 代入原函数 $f(e^x - 1) = x^2 + 5x + 1$，得到 $f(t) = [\ln(t + 1)]^2 + 5\ln(t + 1) + 1$。
步骤 3：替换变量
将 $t$ 替换为 $x$，得到 $f(x) = [\ln(x + 1)]^2 + 5\ln(x + 1) + 1$。
令 $t = e^x - 1$，则 $e^x = t + 1$，从而 $x = \ln(t + 1)$。
步骤 2：代入原函数
将 $x = \ln(t + 1)$ 代入原函数 $f(e^x - 1) = x^2 + 5x + 1$，得到 $f(t) = [\ln(t + 1)]^2 + 5\ln(t + 1) + 1$。
步骤 3：替换变量
将 $t$ 替换为 $x$，得到 $f(x) = [\ln(x + 1)]^2 + 5\ln(x + 1) + 1$。