题目
【补例】(2024，数二)设A=(}0&1&a1&0&1x=0的解，但这两个方程组不同解.(1)求a,b的值;(2)求正交变换x=Qy,将f(x_(1),x_(2),x_(3))化为标准形.
【补例】(2024，数二)设$A=\left(\begin{matrix}0&1&a\\1&0&1\end{matrix}\right)$,$B=\left(\begin{matrix}1&1\\1&1\\b&2\end{matrix}\right)$,二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x^{T}BAx$若方程组$Ax=0$的解均为$B^{T}x=0$的解，但这两个方程组不同解.
(1)求a,b的值;
(2)求正交变换$x=Qy$,将$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形.
题目解答
答案
(1) **求解 $a$ 和 $b$**
由 $Ax=0$ 的解为 $x=k(-1, -a, 1)^T$，代入 $B^T x=0$ 得：
\[
\begin{cases}
-1 - a + b = 0 \\
-1 - a + 2 = 0
\end{cases} \Rightarrow a = 1, b = 2
\]
(2) **正交变换**
计算 $C=BA$，求得特征值为 $\lambda_1=6$，$\lambda_2=\lambda_3=0$。对应特征向量单位化后，正交变换矩阵 $Q$ 将二次型化为：
\[
f(x_1, x_2, x_3) = 6y_1^2
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & a = 1, \quad b = 2 \\
(2) & f(x_1, x_2, x_3) = 6y_1^2 \\
\end{array}
}
\]