【11】lim_(xto0)(ln(1+x+x^2)+ln(1-x+x^2))/(sec x-cos x)=

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及对数运算性质、三角恒等式以及等价无穷小的替换。

解题核心思路：

1. 分子化简：利用对数的加法性质，将两个对数合并为一个，简化表达式。
2. 分母化简：将$\sec x - \cos x$转化为$\frac{\sin^2 x}{\cos x}$，便于后续近似。
3. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，用$x^2$近似$\sin^2 x$，用$1$近似$\cos x$，用$x^2 + x^4$近似$\ln(1 + x^2 + x^4)$，从而快速计算极限。

破题关键点：

• 对数合并：通过乘积形式简化分子。
• 分母恒等变形：利用三角恒等式$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，将分母转化为更易处理的形式。
• 高阶无穷小忽略：在$x \to 0$时，$x^4$相对于$x^2$是高阶无穷小，但需保留到$x^2$项以保证近似精度。

分子化简：
$\ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2) = \ln\left[(1+x+x^2)(1-x+x^2)\right]$
展开乘积：
$(1+x+x^2)(1-x+x^2) = 1 + x^2 + x^4$
因此，分子变为：
$\ln(1 + x^2 + x^4)$

分母化简：
$\sec x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$

等价无穷小替换：
当$x \to 0$时：
$\ln(1 + x^2 + x^4) \approx x^2 + x^4, \quad \sin^2 x \approx x^2, \quad \cos x \approx 1$
代入原式：
$\frac{x^2 + x^4}{x^2} = 1 + x^2 \quad \xrightarrow{x \to 0} \quad 1$