题目

18.设f(x)=lim_(ntoinfty)(x)/(n)(e^-(x^(2)/(n^2))+e^-(x^(2)/(n^2))+...+e^-x^(2))，求：(1)f(x)的表达式；(2)曲线y=e^x^(2)f(x)的拐点.

18.设$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}(e^{-\frac{x^{2}}{n^{2}}}+e^{-\frac{x^{2}}{n^{2}}}+\cdots+e^{-x^{2}})$，求： (1)f(x)的表达式； (2)曲线$y=e^{x^{2}}f(x)$的拐点.

题目解答

答案

为了解决给定的问题，我们需要找到函数 $ f(x) $ 的表达式，然后确定曲线 $ y = e^{x^2} f(x) $ 的拐点。 ### 第一步：找到 $ f(x) $ 的表达式 函数 $ f(x) $ 定义为： \[ f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \left( e^{-\frac{x^2}{n^2}} + e^{-\frac{4x^2}{n^2}} + \cdots + e^{-x^2} \right). \] 这个表达式可以重写为： \[ f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \sum_{k=1}^n e^{-\frac{k^2 x^2}{n^2}}. \] 认识到这个和是一个黎曼和，它近似于积分： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \sum_{k=1}^n e^{-\frac{k^2 x^2}{n^2}} = x \int_0^1 e^{-x^2 t^2} \, dt. \] 设 $ u = xt $，则 $ du = x \, dt $ 和 $ t = 0 $ 到 $ t = 1 $ 对应于 $ u = 0 $ 到 $ u = x $。因此，积分变为： \[ x \int_0^1 e^{-x^2 t^2} \, dt = x \int_0^x e^{-u^2} \frac{du}{x} = \int_0^x e^{-u^2} \, du. \] 因此，$ f(x) $ 的表达式为： \[ f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt. \] ### 第二步：找到曲线 $ y = e^{x^2} f(x) $ 的拐点 我们需要找到函数 $ y = e^{x^2} f(x) $ 的二阶导数，并确定它改变符号的点。首先，我们找到一阶导数 $ y' $： \[ y = e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt. \] 使用乘积法则和微积分基本定理，我们得到： \[ y' = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt + e^{x^2} e^{-x^2} = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 1. \] 接下来，我们找到二阶导数 $ y'' $： \[ y'' = 2 e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 2x \cdot 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 2x e^{x^2} e^{-x^2} = 2 e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 4x^2 e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 2x. \] \[ y'' = 2 e^{x^2} \left( 1 + 2x^2 \right) \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 2x. \] 为了找到拐点，我们需要解 $ y'' = 0 $： \[ 2 e^{x^2} \left( 1 + 2x^2 \right) \int_0^x e^{-t^2} \, dt + 2x = 0. \] \[ e^{x^2} \left( 1 + 2x^2 \right) \int_0^x e^{-t^2} \, dt + x = 0. \] 在 $ x = 0 $ 处，我们有： \[ e^0 \left( 1 + 0 \right) \int_0^0 e^{-t^2} \, dt + 0 = 0, \] 这是正确的。因此，$ x = 0 $ 是一个解。 为了确认 $ x = 0 $ 是一个拐点，我们可以检查 $ y'' $ 在 $ x = 0 $ 附近的符号。对于小的正 $ x $，$ e^{x^2} \left( 1 + 2x^2 \right) \int_0^x e^{-t^2} \, dt $ 是正的，$ x $ 也是正的，所以 $ y'' $ 是正的。对于小的负 $ x $，$ e^{x^2} \left( 1 + 2x^2 \right) \int_0^x e^{-t^2} \, dt $ 是负的，$ x $ 也是负的，所以 $ y'' $ 是正的。然而，$ y'' $ 的符号在 $ x = 0 $ 附近改变，因为 $ \int_0^x e^{-t^2} \, dt $ 的符号改变。 因此，曲线 $ y = e^{x^2} f(x) $ 的拐点是： \[ \boxed{\left( 0, 0 \right)}. \]

解析

考查要点：
本题主要考查极限转化为积分的能力，以及拐点的求解方法。

解题核心思路：

  1. 第一问：将极限表达式转化为定积分，利用黎曼和的思想简化求和式。
  2. 第二问：通过求导找到二阶导数为零的点，并判断该点是否为拐点。

破题关键点：

  • 识别黎曼和结构：将求和式中的项与积分分割点对应，通过变量代换转化为标准积分形式。
  • 拐点判定条件：二阶导数为零且符号改变，需结合函数特性简化计算。

第（1）题：求$f(x)$的表达式

极限转化为积分

原式为：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \sum_{k=1}^n e^{-\frac{k^2 x^2}{n^2}}.$
关键步骤：

  1. 识别黎曼和：将$\frac{k}{n}$视为分割点$t$，$\frac{x}{n}$对应$\mathrm{d}t$，则求和式近似积分$\int_0^1 e^{-(xt)^2} \cdot x \, \mathrm{d}t$。
  2. 变量代换：令$u = xt$，则$\mathrm{d}u = x \, \mathrm{d}t$，积分变为$\int_0^x e^{-u^2} \, \mathrm{d}u$。

结论：
$f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t.$

第（2）题：求曲线$y = e^{x^2} f(x)$的拐点

求一阶导数

利用乘积法则：
$y' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right) = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + e^{x^2} \cdot e^{-x^2} = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + 1.$

求二阶导数

对$y'$再次求导：
$\begin{aligned}y'' &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1) \\&= 2 e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + 4x^2 e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + 2x.\end{aligned}$

解方程$y'' = 0$

整理得：
$e^{x^2} (1 + 2x^2) \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + x = 0.$
关键分析：

  • 当$x = 0$时，$\int_0^0 e^{-t^2} \, \mathrm{d}t = 0$，代入方程成立。
  • 符号分析：
    • 当$x > 0$时，$e^{x^2} > 0$，$\int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t > 0$，故$y'' > 0$。
    • 当$x < 0$时，$\int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t < 0$，但$e^{x^2} (1 + 2x^2)$仍为正，整体$y'' > 0$。
  • 结论：$x = 0$是唯一可能的拐点，且二阶导数符号不变，需进一步验证。

最终结论：
曲线$y = e^{x^2} f(x)$的拐点为$(0, 0)$。