[例4] 设 varphi (x)= { ,xneq 0 0, x=0 . 函数f(x)可导,求 (x)=f(varphi (x)) 的导数.

步骤 1：定义函数 $F(x)$
函数 $F(x)$ 定义为 $F(x) = f(\varphi(x))$，其中 $\varphi(x)$ 是一个分段函数，定义如下：
$$
\varphi(x) = \begin{cases}
x^3 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases}
$$
步骤 2：求 $F(x)$ 在 $x \neq 0$ 时的导数
当 $x \neq 0$ 时，$F(x) = f(x^3 \sin \frac{1}{x})$，根据复合函数求导法则，有：
$$
F'(x) = f'(x^3 \sin \frac{1}{x}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 \sin \frac{1}{x})
$$
计算 $\frac{d}{dx}(x^3 \sin \frac{1}{x})$：
$$
\frac{d}{dx}(x^3 \sin \frac{1}{x}) = 3x^2 \sin \frac{1}{x} - x^3 \cos \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^2} = 3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x}
$$
因此，当 $x \neq 0$ 时，$F'(x)$ 为：
$$
F'(x) = f'(x^3 \sin \frac{1}{x}) \cdot (3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x})
$$
步骤 3：求 $F(x)$ 在 $x = 0$ 时的导数
当 $x = 0$ 时，$F(x) = f(0)$，根据复合函数求导法则，有：
$$
F'(0) = f'(0) \cdot \varphi'(0)
$$
计算 $\varphi'(0)$：
$$
\varphi'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0
$$
因此，当 $x = 0$ 时，$F'(0)$ 为：
$$
F'(0) = f'(0) \cdot 0 = 0
$$