设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0，1，1，α1=⎛⎝⎜1a0⎞⎠⎟，α2=⎛⎝⎜1−1a⎞⎠⎟是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2(1)求参数a的值；(2)求方程Ax=α2的通解；(3)求矩阵A.

入很入很(1)入很入很①若α1,入很入很α2入很均为λ1=入很入很0入很入很的特征向量,入很则有入很A(入很α1+入很入很α2入很)=入很入很A入很α1+入很入很A入很α2=入很入很0入很入很≠入很入很α2入很，矛盾，入很入很②若α1,入很入很α2入很均为λ2=入很入很λ3入很=入很入很1入很入很的特征向量,入很则有入很A(入很α1+入很入很α2入很)=入很入很A入很α1+入很入很A入很α2=入很入很α1入很+入很入很α2入很≠入很入很α2入很，矛盾，入很入很可见α1,入很入很α2入很是属于实对称矩阵A入很的两个不同特征值的特征向量,入很且入很入很α1入很入很是属于特征值λ1=入很入很0入很入很的特征向量，入很α2入很入很是属于特征值λ2=入很入很λ3入很=入很入很1入很入很的特征向量,入很根据实对称矩阵的性质入很,入很入很α1入很,入很入很α2入很必正交，入很入很故有：αT入很入很1入很入很α2=入很入很1入很入很−入很入很a入很入很=入很入很，得：入很a入很入很=入很入很1.入很入很(2)入很入很因为A入很可以对角化,入很且入很A入很入很∼入很入很⎛入很⎝入很⎜入很入很011入很⎞入很⎠入很⎟入很，入很入很可见入很r入很入很(入很入很A入很入很)入很入很=入很入很2入很入很，入很入很于是齐次线性方程组入很A入很入很x入很入很=入很入很0入很入很的基础解系所含解向量的个数为：入很3入很入很−入很入很r入很入很(入很入很A入很入很)入很入很=入很入很1入很入很，入很入很而入很A入很α1=入很入很0入很入很,入很入很因此入很入很α1入很入很可作为入很A入很入很x入很入很=入很入很0入很入很的基础解系，入很入很又入很入很α2入很入很是入很A入很入很x入很入很=入很入很α2入很的特解，入很入很故入很A入很入很x入很入很=入很入很α2入很的通解为：x入很入很=入很入很α2入很+入很入很k入很α1=入很入很⎛入很⎝入很⎜入很入很1入很−1入很a入很⎞入很⎠入很⎟入很+入很入很k入很入很⎛入很⎝入很⎜入很入很1a0入很⎞入很⎠入很⎟入很，k入很为任意常数。(3)入很入很设λ2=入很入很λ3入很=入很入很1入很入很的另一特征向量为：入很入很α3=入很入很⎛入很⎝入很⎜入很x1x2x3入很入很⎞入很⎠入很⎟入很，入很入很则入很入很α3入很入很与入很入很α1入很入很正交,入很不妨进一步要求入很入很α3入很入很与入很入很α2入很入很也正交，入很入很则有：αT入很入很1入很入很α3=入很入很x1入很+入很入很x2入很=入很入很0入很入很,入很入很αT入很入很2α3=入很入很x1入很−入很入很x2入很+入很入很x3入很=入很入很0入很入很，入很入很解得：α3=入很入很⎛入很⎝入很⎜−1入很12入很⎞入很⎠入很⎟入很，入很入很由入很A(入很α1,入很入很α2入很,入很入很α3入很)=(入很入很0,入很入很α2入很,入很入很α3入很)，得：A入很入很=(入很入很0,入很入很α2入很,入很入很α3入很)入很(入很α1,入很入很α2入很,入很入很α3入很)入很入很−入很入很1入很入很=入很入很⎛入很⎝入很⎜入很⎜入很⎜入很⎜入很⎜入很12入很入很−入很入很12入很120入很−入很入很120001入很⎞入很⎠入很⎟入很⎟入很⎟入很⎟入很⎟入很.