题目
[题目]求函数 =(x)^2+(y)^2+(z)^2 在约束条件 =(x)^2+(y)^2 和-|||-x+y+z=4 下的最大值与最小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 $F(x,y,z,\lambda ,\mu )={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+\lambda ({x}^{2}+{y}^{2}-z)+\mu (x+y+z-4)$，其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
步骤 2：求解驻点
令 $\left \{ \begin{matrix} F_{x}=2x+2\lambda x+\mu =0\\ F_{y}=2y+2\lambda y+\mu =0\\ F_{z}=2z-\lambda =0\\ F_{\lambda }={x}^{2}+{y}^{2}-z=0\\ F_{\mu }=x+y+z-4=0\end{matrix} \right.$，求解方程组。
步骤 3：求解方程组
解方程组可得，$({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})=(1,1,2)$ 和 $(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)$。
步骤 4：计算函数值
计算 $u({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})=6$ 和 $u({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=72$。
步骤 5：确定最值
因为 $u({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})=6$ 和 $u({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=72$，故所求的最大值为72，最小值为6。
构造拉格朗日函数 $F(x,y,z,\lambda ,\mu )={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+\lambda ({x}^{2}+{y}^{2}-z)+\mu (x+y+z-4)$，其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
步骤 2：求解驻点
令 $\left \{ \begin{matrix} F_{x}=2x+2\lambda x+\mu =0\\ F_{y}=2y+2\lambda y+\mu =0\\ F_{z}=2z-\lambda =0\\ F_{\lambda }={x}^{2}+{y}^{2}-z=0\\ F_{\mu }=x+y+z-4=0\end{matrix} \right.$，求解方程组。
步骤 3：求解方程组
解方程组可得，$({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})=(1,1,2)$ 和 $(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)$。
步骤 4：计算函数值
计算 $u({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})=6$ 和 $u({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=72$。
步骤 5：确定最值
因为 $u({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})=6$ 和 $u({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=72$，故所求的最大值为72，最小值为6。