求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+{x)^2)-ln (1+(sin )^2x)}(x{sin )^3x}

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开或等价无穷小替换求极限的能力，涉及对数函数的泰勒展开及多项式运算。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子中的$\ln(1+x^2)$和$\ln(1+\sin^2x)$均可展开为泰勒多项式。通过展开并相减，化简分子，同时将分母$x \sin^3x$展开，比较分子分母的最高阶项，最终求得极限值。

破题关键点：

1. 泰勒展开：对$\ln(1+t)$在$t \rightarrow 0$时展开，保留足够多的项以抵消分母的阶数。
2. 化简分子：将分子中的两个对数展开后相减，消去低阶项，保留高阶项。
3. 分母展开：将$\sin x$展开为泰勒多项式，计算$\sin^3x$并化简分母。

步骤1：展开分子中的对数函数
对$\ln(1+x^2)$展开：
$\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + \cdots$

对$\ln(1+\sin^2x)$展开：
首先展开$\sin x$：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots$
则$\sin^2x$展开为：
$\sin^2x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} + \cdots$
代入$\ln(1+\sin^2x)$：
$\ln(1+\sin^2x) = \left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(x^4 - \frac{2x^6}{3}\right) + \cdots = x^2 - \frac{5x^4}{6} + \cdots$

步骤2：计算分子
分子为两对数之差：
$\begin{aligned}\ln(1+x^2) - \ln(1+\sin^2x) &= \left(x^2 - \frac{x^4}{2}\right) - \left(x^2 - \frac{5x^4}{6}\right) \\&= \frac{x^4}{3} + \cdots\end{aligned}$

步骤3：展开分母
展开$\sin^3x$：
$\sin^3x = \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 = x^3 - \frac{x^5}{2} + \cdots$
分母为：
$x \sin^3x = x \cdot \left(x^3 - \frac{x^5}{2}\right) = x^4 - \frac{x^6}{2} + \cdots$

步骤4：求极限
分子最高阶为$x^4/3$，分母最高阶为$x^4$，故极限值为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4/3}{x^4} = \frac{1}{3}$