题目
[题目]设函数f(x)在 x=0 的某领域内有一阶-|||-连续导数,且 (0)neq 0, '(0)neq 0 ,若-|||-af(h)+bf(2h)-f(0) 在 -gt 0 时是比h高阶的-|||-无穷小,试确定a,b的值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用高阶无穷小量的定义
根据题目条件，$af(h) + bf(2h) - f(0)$ 在 $h \to 0$ 时是比 $h$ 高阶的无穷小，即
$$\lim_{h \to 0} \frac{af(h) + bf(2h) - f(0)}{h} = 0$$
步骤 2：将表达式重新组合
将上述表达式重新组合，得到
$$\lim_{h \to 0} \left( a \cdot \frac{f(h) - f(0)}{h} + 2b \cdot \frac{f(2h) - f(0)}{2h} + (a + b - 1) \cdot \frac{f(0)}{h} \right) = 0$$
步骤 3：利用导数定义
利用导数定义，当 $h \to 0$ 时，有
$$\lim_{h \to 0} \left( a \cdot f'(0) + 2b \cdot f'(0) + (a + b - 1) \cdot \frac{f(0)}{h} \right) = 0$$
步骤 4：求解 a 和 b
由于 $f(0) \neq 0$ 和 $f'(0) \neq 0$，为了使上述极限成立，必须有
$$a + 2b = 0$$
$$a + b - 1 = 0$$
解得
$$a = 2$$
$$b = -1$$
根据题目条件，$af(h) + bf(2h) - f(0)$ 在 $h \to 0$ 时是比 $h$ 高阶的无穷小，即
$$\lim_{h \to 0} \frac{af(h) + bf(2h) - f(0)}{h} = 0$$
步骤 2：将表达式重新组合
将上述表达式重新组合，得到
$$\lim_{h \to 0} \left( a \cdot \frac{f(h) - f(0)}{h} + 2b \cdot \frac{f(2h) - f(0)}{2h} + (a + b - 1) \cdot \frac{f(0)}{h} \right) = 0$$
步骤 3：利用导数定义
利用导数定义，当 $h \to 0$ 时，有
$$\lim_{h \to 0} \left( a \cdot f'(0) + 2b \cdot f'(0) + (a + b - 1) \cdot \frac{f(0)}{h} \right) = 0$$
步骤 4：求解 a 和 b
由于 $f(0) \neq 0$ 和 $f'(0) \neq 0$，为了使上述极限成立，必须有
$$a + 2b = 0$$
$$a + b - 1 = 0$$
解得
$$a = 2$$
$$b = -1$$