题目

2.lim _(xarrow 0)(dfrac (2+{e)^dfrac (1{x)}}(1+{e)^dfrac (4{x)}}+dfrac (sin x)(|x|))

2. $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{\left|x\right|}\right)$

题目解答

答案

解：

$\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{\left|x\right|}\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\frac{2+e^{+\infty}}{1+\left(e^{+\infty}\right)^4}+\frac{x}{x}\right)=\left(0+1\right)=1$

$\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{\left|x\right|}\right)=\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\frac{2+e^{-\infty}}{1+\left(e^{-\infty}\right)^4}-\frac{x}{x}\right)=\left(2-1\right)=1$

因为左右极限存在且相等，故 $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{\left|x\right|}\right)=1$

解析

步骤 1：分析极限的分段情况
由于极限中包含有 $\dfrac{1}{x}$ 和 $\dfrac{4}{x}$，我们需要分别考虑 $x$ 趋向于 $0^+$ 和 $0^-$ 的情况，因为这将影响到 $e^{\frac{1}{x}}$ 和 $e^{\frac{4}{x}}$ 的值。

步骤 2：计算 $x$ 趋向于 $0^+$ 的极限
当 $x$ 趋向于 $0^+$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 和 $\dfrac{4}{x}$ 都趋向于 $+\infty$，因此 $e^{\frac{1}{x}}$ 和 $e^{\frac{4}{x}}$ 都趋向于 $+\infty$。此时，$\dfrac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}$ 的分子和分母都趋向于 $+\infty$，但分母的增长速度更快，因此该部分的极限为 $0$。同时，$\dfrac{\sin x}{|x|}$ 趋向于 $1$，因为 $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$。因此，$x$ 趋向于 $0^+$ 时，整个表达式的极限为 $1$。

步骤 3：计算 $x$ 趋向于 $0^-$ 的极限
当 $x$ 趋向于 $0^-$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 和 $\dfrac{4}{x}$ 都趋向于 $-\infty$，因此 $e^{\frac{1}{x}}$ 和 $e^{\frac{4}{x}}$ 都趋向于 $0$。此时，$\dfrac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}$ 的极限为 $\dfrac{2}{1} = 2$。同时，$\dfrac{\sin x}{|x|}$ 趋向于 $-1$，因为 $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1$。因此，$x$ 趋向于 $0^-$ 时，整个表达式的极限为 $2 - 1 = 1$。

步骤 4：判断极限是否存在
由于 $x$ 趋向于 $0^+$ 和 $0^-$ 时，整个表达式的极限都为 $1$，因此原极限存在且等于 $1$。