题目
分解因式：x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y).
分解因式：$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$.
题目解答
答案
解 $x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是关于$x$、$y$、$z$的轮换式.
如果把$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$看作关于$x$的多项式，那么在$x=y$时，它的值为
$y^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(y-y)=0$.
因此，根据第$8$单元，$x-y$是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$的因式.
由于$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是$x$、$y$、$z$的轮换式，所以可知$y-z$与$z-x$也是它的因式.从而它们的积
$(x-y)(y-z)(z-x)$ (4)
是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$ (5)
的因式.由于(4)、(5)都是$x$、$y$、$z$的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数$k$，即有
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x)$. (6)
现在我们来确定常数$k$的值.为此，比较(6)的两边$x^{2}y$的系数：左边系数为$1$，右边系数为$-k$.因此，$k=-1$.于是
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$
$=-(x-y)(y-z)(z-x)$.
如果把$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$看作关于$x$的多项式，那么在$x=y$时，它的值为
$y^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(y-y)=0$.
因此，根据第$8$单元，$x-y$是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$的因式.
由于$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是$x$、$y$、$z$的轮换式，所以可知$y-z$与$z-x$也是它的因式.从而它们的积
$(x-y)(y-z)(z-x)$ (4)
是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$ (5)
的因式.由于(4)、(5)都是$x$、$y$、$z$的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数$k$，即有
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x)$. (6)
现在我们来确定常数$k$的值.为此，比较(6)的两边$x^{2}y$的系数：左边系数为$1$，右边系数为$-k$.因此，$k=-1$.于是
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$
$=-(x-y)(y-z)(z-x)$.
解析
步骤 1：确定因式
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是关于$x$、$y$、$z$的轮换式。如果把$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$看作关于$x$的多项式，那么在$x=y$时，它的值为$y^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(y-y)=0$。因此，根据第$8$单元，$x-y$是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$的因式。由于$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是$x$、$y$、$z$的轮换式，所以可知$y-z$与$z-x$也是它的因式。从而它们的积$(x-y)(y-z)(z-x)$是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$的因式。
步骤 2：确定常数
由于$(x-y)(y-z)(z-x)$和$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$都是$x$、$y$、$z$的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数$k$，即有$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x)$。现在我们来确定常数$k$的值。为此，比较等式的两边$x^{2}y$的系数：左边系数为$1$，右边系数为$-k$。因此，$k=-1$。
步骤 3：写出最终结果
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)$。
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是关于$x$、$y$、$z$的轮换式。如果把$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$看作关于$x$的多项式，那么在$x=y$时，它的值为$y^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(y-y)=0$。因此，根据第$8$单元，$x-y$是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$的因式。由于$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$是$x$、$y$、$z$的轮换式，所以可知$y-z$与$z-x$也是它的因式。从而它们的积$(x-y)(y-z)(z-x)$是$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$的因式。
步骤 2：确定常数
由于$(x-y)(y-z)(z-x)$和$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$都是$x$、$y$、$z$的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数$k$，即有$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x)$。现在我们来确定常数$k$的值。为此，比较等式的两边$x^{2}y$的系数：左边系数为$1$，右边系数为$-k$。因此，$k=-1$。
步骤 3：写出最终结果
$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)$。